Un
exemple du développement d'un concept en mathématiques
Il
ne faut pas voir l'histoire des mathématiques comme une marche
triomphale au milieu d'un boulevard sans obstacle . Bien au contraire,
non seulement, cette histoire présente de nombreux à-coup, mais
les chemins empruntés s'apparentent rarement à la ligne droite,
et il s'est même trouvé quelques impasses ... Il y eut aussi des
avancées brusques dûes à des concepts nouveaux et qui ont répondu
à des problèmes parfois très éloignés des questions initiales
qui les avaient générées .
Les
logarithmes sont exemplaires de ce développement cahotique et
riche à la fois . Partis d'une idée simple , mais dont la mise
en oeuvre nécéssitait un gros travail ( la construction des tables),
ils ont été d'abord le moteur d'un développement des mathématiques
appliquées avant de s'avérer ètre la solution d'un problème géométrique
. Sujets d'études théoriques et approfondies par la suite, ils
ont aussi été un outil indispensable pour la modèlisation de multiples
phénomènes physiques.
La
présentation pédagogique traditionnelle des logarithmes privilégie
le logarithme dit"népérien". Il est introduit comme
étant la fonction primitive de la fonction inverse s'annulant
pour la valeur 1 de la variable. Si cette introduction est mathématiquement
satisfaisante, elle est loin d'ètre évidente pour les élèves et
les étudiants et la propriété essentielle est occultée. Bien entendu,
le problème historique qui a conduit à la conception des logarithmes
est aussi absent alors que son utilisation pour présenter cette
nouvelle notion a l'avantage de la simplicité: il s'agit tout
simplement de construire une table permettant de faire rapidement
des multiplications, divisions et exponentiations.
Aujourd'hui
l'utilisation des logarithmes pour le calcul est désuète, mais
le concept reste fondamental dans la culture mathématique de base
et ils sont très présents tant en physique qu'en chimie . Leur
histoire reste sans doute un chapître modeste, mais son exemplarité,
voire sa richesse témoignent de ce que présente le développement
des Mathématiques.
PROBLEMATIQUE:
L'origine
du concept des logarithmes est à trouver dans un problème mathématique,
sans doute, mais dans un probleme de mathématique appliquée :
il s'agit de simplifier la lourde tâche des calculateurs, excessivement
compliquée dès qu'elle implique multiplications, divisions, voire
exponentiations ou extractions de racines.
Aux
XIV , XV et XVIèmes siècles (et bien sûr avant) les domaines concernés
sont moins les questions économiques que les problèmes d'arpentage,
et surtout que l'astronomie, en particulier dans ses applications
à la navigation. Ces opérations demandent alors une certaine précision.
Si les progrès de la numération ont pu faire avancer les choses,
comme l'utilisation des chiffres dits arabes, les algoritmes de
multiplication et de division sont méconnus; les nombres rationnels,
systématiquement écrits sous forme partie entière plus fraction
de l'unité, rendent même les additions très compliquées.
On
doit au mathématicien arabe IBN JOUNIS d'avoir proposé, au XIeme
siecle une méthode, dite prostaphérèse, pour remplacer la multiplication
de deux sinus par une somme de mêmes fonctions, et cette méthode
restera longtemps en vigueur. La multiplication des sinus (et
leur division) est une opération essentielle, puisque tout calcul
en géométrie, en particulier la résolution des triangles, est
une opération sur des longueurs souvent non mesurables, donc obtenues
à partir de mesure d'angles .
C'est
à ARCHIMEDE qu'il revient d'avoir eu l'idée fondamentale qui devait
générer les logarithmes:
"
Lorsque des nombres sont en proportion continue à partir de l'unité,
et que certains de ces nombres sont multipliés entre eux, le produit
sera dans la même progression, éloigné du plus grand des nombres
multipliés d'autant de nombres que le plus petit des nombres multipliés
l'est de l'unité dans la progression, et éloigné de l'unité de
la somme moins un des nombres dont les nombres multipliés sont
éloignés de l'unité"
(Arénaire,
trad. VERECKE)
Soit:
avec 
soit: 
L'idée
d'ARCHIMEDE se retrouve dans les travaux de CHUQUET et de STIFEL,
au XVeme siecle, mais, ni l'un ni l'autre n'ont eu suffisamment
d'influence pour imposer la comparaison d'une suite géométrique
et d'une suite arithmétique comme moyen de calcul, ou comme nouveau
champ d'investigation en mathématique.
NAPIER
ET BRIGGS
John
NAPIER ( écrit aussi NEPER) est né en1550. De petite noblesse
écossaise, il montra toute sa vie un esprit curieux et dynamique,
malgré une existence éloignée des centres culturels de l'époque.
L'introduction des logarithmes n'est pas son seul titre de gloire,
puisqu'il a écrit également un texte sur les équations et imaginé
par ailleurs un système de calcul au moyen de réglettes graduées
(Rabdologie).
En
1614, il publie le "Mirifici logarithmorum canonis descriptio..."
ou, utilisant une approche cinématique, il met en relation une
suite géométrique et une suite arithmétique. La première est celle
de distances parcourues à une vitesse proportionnelle à elles-mêmes,
la seconde, celles de distances parcourues à vitesse constante;
celles-ci sont alors les "logarithmes" des premieres
( le néologisme est de NAPIER) .
L'unité
choisie est de 107, et l'ouvrage comprend une table des logarithmes
des sinus, dont nous avons mentionnés précédemment l'importance,
les angles croissant de minute en minute. En 1619 parait un second
ouvrage, "Mirifici logarithmorum canonis constructio ..."
ou l'auteur explique comment calculer les logarithmes. Cet ouvrage
est posthume, puisque NAPIER meurt en 1617.
Entre-temps,
un éminent mathématicien de Londres, Henry BRIGGS, avait décelé
l'importance de ces travaux et fait le déplacement en Ecosse pour
en rencontrer l'auteur. Reprenant l'idée fondamentale, mais en
adoptant une suite géométrique simple, celle des puissances de10,
il publie en 1617 une première table, avec 8 décimales. Le logarithme
d'un nombre x est donc défini comme l'exposant ln de 10, tel que
x soit égal à 10 puissance ln.
D'autres
tables suivront qui permettront la diffusion de la méthode, en
particulier sur le continent.
En
fait, l'idée était dans l'air; un collaborateur de KEPLER, le
suisse BÜRGI, proposait à la mème époque, pour simplifier les
calculs qu'il devait exécuter, de mettre en correspondance une
suite arithmétique (nombres rouges) et une suite géométrique (nombres
noirs); cependant ses travaux n'ont été publiés qu'en 1620.
PREMIERES
UTILISATIONS
C'est
d'abord en Allemagne que les logarithmes vont se développer .
Au début de 1617, KEPLER, fortuitement à Vienne, a l'occasion
de consulter le premier ouvrage de NEPER. Le parcourant rapidement,
il commet une erreur d'interprétation. Il en fera part l'année
suivante dans une lettre a un ami:
"
Un baron écossais dont je n'ai pas retenu le nom, propose un brillant
travail dans lequel il remplace la nécessité de la multiplication
et de la division, par la simplicité de l'addition et de la soustraction,
sans employer les sinus: en échange, il a besoin de la règle des
tangentes: et la variété, la longueur, la lourdeur de l'addition
et de la soustraction se substituent à la difficulté des multiplications
et divisions"
Or
KEPLER utilise évidemment la règle des sinus, que ce soit dans
un triangle plan ou sphérique; pour lui, le travail de NEPER ne
présente pas d'intéret.
Dans
le courant de 1618, il a cependant en main l'ouvrage de Benjamin
URSINUS: "Trigonometria Logarithmica John Neperi"; il
reconnait alors son erreur et se montre enthousiaste de ce nouveau
calcul . En 1619, enfin, le livre "Mirifici Logarithmorum
descriptio " arrive à Linz, chez KEPLER, lequel entreprend
assez rapidement d'en modifier le concept pour l'adapter à ses
besoins. Son adhésion est telle qu'il dédie ses éphémerides de1620
(parues fin 1619) au "célèbre et noble seigneur JOHN NEPER,
baron de MERCHISTON".
La
diffusion sur le continent de cette nouvelle notion est surtout
due aux tables publiées par le flamand Adrien ULACQ, en 1628,
reprenant les tables de BRIGGS . Le but était de fournir un traité
de calcul pratique, en particulier à l'usage des arpenteurs. Les
premières tables furent suivies d'autres, de plus en plus précises,
et mentionnant leur utilisation prioritaire pour les calculs trigonométriques.
La
méthode de construction des tables passe d'abord, évidemment par
la détermination des logarithmes des nombres premiers; les autres
sont alors calculés par simple sommation. Il s'agit en fait de
prendre soit des "moyennes proportionnelles, soit des racines
carrées". EULER écrira en 1748:
"ainsi
en prenant des moyennes proportionnelles, on est parvenu à trouver
Z=5,000000, à quoi répond le logarithme cherché 0,698970, en supposant
la base logarithmique=10. Par conséquent 1069897/100000
= 5 à peu prés. C'estde cette maniere que BRIGGS et ULACQ
ont calculé la table ordinaire des logarithmes, quoiqu'on ait
imaginé depuis des méthodes plus expéditives."
L'AIRE
SOUS L'HYPERBOLE
Bien
sûr, l'étape essentielle du développement mathématique du concept
se trouve dans son rapprochement avec l'hyperbole. On la doit
au jésuite GREGOIRE DE SAINT-VINCENT, né à Bruges en1584. Il avait
achevé la rédaction d'un "Opus géométricum..." en 1630,
dans lequel il prétendait avoir résolu le problème des quadratures
du cercle et de l'hyperbole. Cet ouvrage ne fut publié qu'en 1647,
et s'il est un échec quant à la quadrature du cercle, il met en
évidence que les aires sous l'hyperbole s'apparentent aux logarithmes.
Le
travail de cet auteur ne se situe pas dans une perspective liée
spécifiquement aux logarithmes, mais plutot dans une tentative
de résolution de problèmes généraux de quadratures, très à la
mode à l'époque et dans un style tout à fait traditionnel ; l'aspect
novateur réside dans l'utilisation d'un certain passage à l'infini
pour justifier la premiere partie de sa démonstration. Nous sommes
cependant encore avant l'ère de LEIBNIZ et de NEWTON...
Le
rapprochement du calcul de l'aire sous l'hyperbole avec les logarithmes
n'est donc pas de GREGOIRE DE SAINT-VINCENT lui-même; son oeuvre,
d'abord méconnue, a fait l'objet de critiques, fondées d'ailleurs
en ce qui concerne la quadrature du cercle . C'est un de ces défenseurs,
le jésuite SARASSA qui mentionnera que" les aires hyperboliques
peuvent tenir lieu de logarithmes"
Le
calcul de GREGOIRE DE SAINT-VINCENT repose sur le fait que, lorsque
les abcisses sont en suite géométrique, les surfaces sont en suite
arithmétique.
Prenons
la plus simple des hyperboles, d'équation x.y=1, rapportée à un
repère orthonormal. A, B, C,... seront des points de l'axe des
abcisses (axe des"x") en suite géométrique; D, E, G,...
seront alors les points de l'hyperbole de mêmes abcisses . GREGOIRE
DE SAINT-VINCENT montre d'abord que les surfaces entre la courbe
et DE d'une part, EG d'autre part sont égales ; les trapèzes ADEB
et BEGC ayant mème surface, les aires sous l'hyperbole sont égales.
On
trouvera quelques années plus tard, dans certains manuels de géométrie,
tel celui de PARDIES (1671), l'énoncé du résultat trouvé par DE
SAINT-VINCENT, mais c'est loin d'ètre le cas général, et PARDIES
était aussi un jésuite!
STATUT
MATHÉMATIQUE
Si
l'aspect analytique du logarithme, en d'autres termes le statut
de fonction, avait déja été envisagé par KEPLER, il revient à
TORRICELLI, puis à HUYGENS d'étudier la courbe logarithmique et
à WALLIS, après un premier travail de MERCATOR d'en proposer un
développement en série (1667).
Cette
technique est alors nouvelle, elle est sans doute l'un des rares
intérets de l'ouvrage de MERCATOR; en effet cet auteur ne semble
pas avoir su développer l'idée initiale, à savoir l'intégration
de la série:
en:
| Log
(1+x) |
 |
Ce
nouvel aspect permet alors un calcul plus aisé des logarithmes
des nombres et on le trouvera par la suite dans les manuels du
XVIIIeme siecle.
En
ce qui concerne la courbe de la fonction logarithme, dite "courbe
logarithmique", TORRICELLI en propose le tracé dès 1646,
dans des lettres à ses correspondants, mais sa mort en 1647 en
retarde la diffusion. C'est plus à HUYGHENS qu'il reviendra d'en
exposer les propriétés dans son "Discours de la cause de
la pesanteur", paru en 1690 . HUYGENS s'était intéressé dès1651
aux logarithmes et à leur calcul, en particulier dans le cadre
de la quadrature de l'hyperbole; il avait repris le problème beaucoup
plus tard (1666) alors qu'il partcipait aux travaux de la toute
nouvelle Académie Royale des Sciences de Paris, et avait utilisé
la notion dans des questions de probabilité et de combinatoire.
Les
logarithmes à cette époque font alors réellement partie du corpus
mathématique ; il ne s'agit plus d'une simple méthode de calcul,
mais bien d'un domaine à part entière . Ils se trouvent dans nombre
d'ouvrages, leur statut théorique ne posant plus problème.
L'OUTIL
LOGARITHMIQUE
La fin du XVIIème siecle voit les débuts de la physique mathématique,
et l'outil proposé par les logarithmes lui sera d'un secours certain.
C'est bien sûr, ce qui a été dit plus haut, le "Discours
de la cause de la pesanteur " de HUYGENS, mais ce sont aussi
les différents travaux sur la pression atmosphérique, en particulier
ceux de MARIOTTE.
Il
faut voir l'utilisation des logarithmes suivant quatre directions:
-la
première est celle qui les a générés, à savoir le calcul de formules
géométriques, utilisées en astronomie et par application en navigation,
ainsi, plus simplement, qu'en arpentage . On publiera beaucoup
de tables d'un format "de poche" pour une utilisation
sur le terrain ou à bord des vaisseaux . Ces tables seront précédées
d'un mode d'emploi et comprendront bien sûr une table des logarithmes
des sinus .
-la
seconde, plus simplement encore, est celle de l'application à
tout calcul multiplicatif . Elle a conduit à la construction des
"règles à calcul", à l'emploi par tout apprenti bachelier
d'une table pour toute opération en sciences physico-chimiques
et à l'élaboration d'algorithmes pour les machines à calculer
contemporaines .
-la
troisième consiste à conjecturer à partir d'expériences des modèles
ou les logarithmes entreront en jeu par comparaison de valeurs
. Mettre en évidence un rapport entre des mesures en suite arithmétique
avec une autre série en suite géométrique conduira à estimer le
premier phénomène comme un logarithme du second . Les échelles
logarithmiques sont aujourd'hui monnaie courante...
-la
dernière est toute théorique ; l'introduction par LEIBNIZ et NEWTON
du calcul différentiel et intégral permettra nombre de raisonnements
analytiques, concernant des phénomènes physiques ou chimiques,
pouvant conduire par simple intégration des inverses à des résultats
logarithmiques .
Les
logarithmes utilisés dans les trois premiers cas seront ceux de
BRIGGS, c'est àdire les logarithmes décimaux ; Par contre l'intégration
met en oeuvre les logarithmes "naturels", appelés "néperiens"
en hommage au père fondateur.
EXPLORATION
MATHEMATIQUE
Dans
le domaine des mathématiques pures, les logarithmes introduisent
de nouvelles grandeurs transcendantes . Ils contribuent donc à
élargir le champ de compréhension du numérique ; Cependant, on
ne peut parler de fonction, donc de fonction logarithme, au sens
moderne, avant qu'EULER n'intervienne dan la seconde partie du
XVIIIème siècle . Ceci n'empêche pas LEIBNIZ et NEWTON d'utiliser
les relations: (écrites de façon actuelle)
et 
comme
l'atteste un manuscrit du premier auteur daté de 1675.
C'est
EULER encore qui, dans les "Institutions de calcul intégral"
publiées de 1768 à1770 traitera de façon magistrale de l'intégration
des logarithmes. L'utilisation de l'intégration par parties est
systématique et conduit à une dernière opération soit directement
intégrable soit développable en série entière .
Par
ailleurs au début du XVIIIème siecle, LEIBNIZ et JEAN BERNOULLI
développent une controverse sur l'existence de logarithmes de
nombres négatifs, voire imaginaires . EULER , en 1749, donnera
une conclusion au débat en abandonnant le caractere univoque du
logarithme; un nombre a une infinité de logarithmes (complexes)
dont un seul ( à une constante multiplicative près) est réel.
Enfin,
il est nécéssaire d'évoquer l'exponentielle, dont on admet qu'elle
a été introduite par LEIBNIZ et JEAN BERNOULLI, dans le cadre
de leurs travaux en analyse . Cette nouvelle notion sera développée
par EULER, et lui permettra de résoudre le problème de la Chaînette
dans son "initiation à l'analyse infinitésimale " de
1748 .
EN
CONCLUSION
Depuis
leur introduction, les logarithmes se sont retrouvés dans les
manuels d'arithmétique comme dans ceux d'analyse . Objet et méthode,
ils ont participé du développement des Mathématiques, mais aussi
de l'histoire des sciences physico-chimiques . La ph-métrie n'aurait
par exemple pu ètre conçue au début du XXème siècle sans le secours
de ce concept mathématique . Partis d'une idée en fait très simple,
ils demeurent un outil peut-ètre modeste, mais malgré tout essentiel
de la connaissance scientifique.
début