Lorsque
vous débutez dans l'enseignement des mathématiques, vous ne classerez
peut-être pas le concept de nombre négatif comme l(un des plus
difficiles à faire acquérir à vos élèves. Il vous vient à l'esprit
des représentations très élémentaires de la vie courante : les
températures, les gains et les dettes …Il se trouve pourtant
qu'un nombre non négligeable d'articles pédagogiques est consacré
à cet enseignement et que, l'intérêt des pédagogues n'est pas
forcément proportionnel à la difficulté de la notion, il n'en
reste pas moins que ce doit tout de même être le signe d'une certaine
difficulté. Vous ne tarderez pas à découvrir que, au delà de la
référence concrète, le calcul sur les négatif pose problème à
de nombreux élèves, que le sens même de ce qu'est un nombre négatif
abstrait reste obscur ; du coup vous essaierez divers parcours
vers les négatifs, vous inspirant des articles précédemment cités,
sans vraiment résoudre toutes les difficultés. En particulier,
l'usage du même symbole "-" pour désigner l'opposé et
l'opérateur de la soustraction, la justification de la règle des
signes pour la multiplication, le fait que la lettre "a"
par exemple puisse désigner un négatif, bien qu'il n'y ait pas
de signe "-" , le fait que - 5 soit inférieur à 2, (une
dette de 5 euros serait plus petite qu'un gain de deux euros ?)…Et
nous touchons ici du doigt le fait que peut-être la référence
concrète, loin d'être une aide peut devenir un obstacle.
C'est
ainsi que nous vous proposons une réflexion de plus sur les négatifs,
historique avant tout qui, peut-être, éclairera les difficultés
et les erreurs de nos élèves, permettra aussi de comprendre que
les concepts, même les plus simples en apparence, sont l'aboutissement
de siècles de tâtonnements, dont ils gardent la trace, y compris
lorsque tout semble devenu limpide.
Et
nous espérons que la réflexion alimentera la réflexion…
Quelques
éléments d’histoire des nombres négatifs
Ces
idées sont très élémentaires ; néanmoins, il n'est pas si aisé
qu'il pourrait le paraître d'abord de les établir d'une manière
bien lumineuse, et d'y donner cette généralité que demande leur
application aux calculs. On ne peut d'ailleurs douter de la difficulté
du sujet , si l'on réfléchit que les sciences exactes avaient
été cultivées pendant un grand nombre de siècles, et qu'elles
avaient fait de grands progrès avant qu'on eût acquis les véritables
notions des quantités négatives, et qu'on eût conçu la manière
générale de les employer.
Argand,
Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires
dans les constructions géométriques, 1806.
L’introduction
conceptuelle des nombres négatifs a été un processus d’une
lenteur surprenante.
Il
ne peut y avoir bien sûr de nombre négatif sans la présence
d’un zéro ; cependant, en Europe, les mathématiciens
disposent du zéro depuis le XIV° siècle, et il faudra attendre
la fin du XV° siècle pour voir apparaître des êtres numériques
non positifs, qui ne seront pas pour autant acceptés comme nombres
à part entière. Très rapidement les règles d’utilisation
seront établies, et les mathématiciens manipuleront les nombres
relatifs, mais ils en auront une compréhension très partielle,
avec d’étonnantes lacunes. On leur dénie l’existence
en tant que quantités réelles. Ils seront longtemps un outil de
calcul, facilitant la résolution des équations, pour lesquelles
par ailleurs on ne retiendra que les solutions positives.
Plusieurs
obstacles peuvent expliquer cette difficulté de reconnaissance
:
un
des obstacles le plus évident sera le zéro absolu, en dessous
duquel il n’y a rien.
Cette
difficulté est particulièrement pointée, par exemple par le mathématicien
français Lazare Carnot (1753-1823), membre de l’académie
des sciences et mathématicien renommé :
« Pour
obtenir réellement une quantité négative isolée, il faudrait retrancher
une quantité effective de zéro, ôter quelque chose de rien : opération
impossible. Comment donc concevoir une quantité négative isolée
? »
Géométrie
de position, 1803.
Un
auteur de manuel de mathématiques, du XIX° siècle, (F. Busset)
ira jusqu’à faire porter l’échec de l’enseignement
des mathématiques en France sur l’admission des quantités
négatives. Il est choqué que l’on discute de savoir s’il
existe « des quantités plus petites que rien ». C’est
pour lui « le comble de l’aberration de la raison humaine ».
Il
existe une sorte d’empêchement de manier le zéro origine,
à côté du zéro absolu.
Dans
les textes précédents, il a pu être noté que l’on ne parle
pas de nombres négatifs, mais de quantités. Les nombres ne peuvent
être que positifs ; ce sont les quantités qui peuvent être négatives
ou positives. Une quantité négative se définit par une opposition
à une quantité positive : un chemin dans une direction, un chemin
dans la direction contraire ; un gain, une dette ...
Nous
proposons d’étudier ici la lente naissance des quantités
négatives, et les obstacles qu’il a fallu franchir pour atteindre
la notion abstraite de nombre négatif.
I
Utilisation
des nombres négatifs en mathématiques
:
Il
est courant d’estimer que la notion de nombre négatif est
née de besoins comptables (gains et dettes).
Les
chinois semblent avoir utilisé depuis le premier siècle de
notre ère les « nombres négatifs ». Sur les tables à
calcul, le plus souvent, des baguettes noires les représentent
; des baguettes rouges représentent les positifs. Cependant ils
n’apparaissent que comme des auxiliaires de calcul, il n’y
a pas de nombre négatif dans les énoncés de problèmes, il n’y
en pas non plus dans les réponses.
Ils
apparaissent aussi chez les mathématiciens indiens (Hindous)
des VI° et VII° siècle ; par exemple nous les trouvons dans les
écrits de Bramagupta (VII° siècle). Il y enseigne la façon
de faire des additions, des soustractions, etc... sur les biens,
les dettes, le néant.
« Une
dette retranchée du néant devient un bien, un bien retranché du
néant devient une dette. »
Les
règles de calcul sont données; mais on ne se préoccupe pas de
les justifier.
Les
« nombres négatifs » vont ainsi apparaître dans les
calculs, et les mathématiciens tout au long de l’histoire
vont s’enhardir à pratiquer de mieux en mieux des opérations
sur ces « nombres », lors même que les règles ne sont
pas clairement établies.
En
occident ils apparaissent donc à la fin du XV° siècle, lors de
la résolution des équations, par exemple dans les écrits du mathématicien
italien Cardan (1501-1576).
Cardan
est encore le premier qui ait aperçu la multiplicité des valeurs
de l'inconnue dans les équations, et leur distinction en positives
et négatives. Cette découverte qui, avec une autre de Viète, est
le fondement de toutes celles d'Harriot et Descartes sur l'analyse
des équations, cette découverte, dis je, est clairement contenue
dans son Ars magna. Dès l'article troisième il observe que la
racine d'un carré est également plus ou moins le côté de ce carré,
et dans l'article 7 il propose une équation qui, réduite à notre
langage, serait x2 + 4x = 21, et il remarque que la
valeur de x est également + 3 ou - 7, et qu'en changeant le signe
du second terme, elle devient - 3 ou + 7. Ces racines négatives,
il les nomme feintes. Cardan redressera en cela l'erreur de Pacioli,
qui n'ayant fait aucune mention de ces racines négatives, semble
ne les avoir pas remarqué.
J.
F. Montucla, Histoire des mathématiques, 1758.
Cependant
à la même époque, d’autres mathématiciens, comme le français
Viète (1540-1603), ne donneront que les solutions positives des
équations.
Les
règles de calcul sont construites en prolongement des règles sur
les positifs, et, tout au long de l’histoire, les mathématiciens
pratiqueront de mieux en mieux ces calculs, mais avec une certaine
gêne, car il s’agit en fait le plus souvent de règles de
calcul concernant des quantités ou des grandeurs que l’on
ajoute ou retranche, et non de nombres positifs ou négatifs.
Cardan
exprime ainsi ses doutes :
« C’est
un simple conseil de ne pas confondre les quantités défaillantes
avec les quantités abondantes. Il faut ajouter entre elles les
quantités abondantes, ajouter entre elles aussi les quantités
défaillantes, et retrancher les quantités défaillantes des quantités
abondantes, mais en tenant compte des espèces, c’est à dire
n’opérer que sur des semblables ; combiner les nombres entre
eux, aussi les carrés, de même les cubes, etc... »
Ars
Magna, 1545.
On
imagine un peu un livre de comptes dans lequel on écrit dans une
colonne les dépenses, dans l’autre les recettes, en veillant
surtout à ne pas les mélanger.
Clairaut
(1713-1765),aussi, sur ce sujet, donnent ses règles, dans ses
« Eléments d’algèbre » de 1746 :
« On
demandera peut-être si on peut ajouter du négatif avec du positif,
ou plutôt si on peut dire qu’on ajoute du négatif. A quoi
je réponds que cette expression est exacte quand on ne confond
point ajouter avec augmenter. Que deux personnes par exemple joignent
leurs fortunes, quelles qu’elles soient, je dirai que c’est
là ajouter leurs biens, que l’un ait des dettes et des effets
réels, si les dettes surpassent les effets, il ne possédera que
du négatif, et la jonction de la fortune à celle du premier diminuera
le bien de celui-ci, en sorte que la somme se trouvera, ou moindre
que ce que possédait le premier, ou même entièrement négative. »
Ceci
met en relief la confusion entre le signe de l’opération
et le signe du nombre, et la différenciation entre ajouter et
augmenter, difficulté qui sont réelles, dès que l’on commence
à enseigner le négatif. La distinction ne sera vraiment faite
qu’à la fin du XIX° siècle, mais le problème pédagogique
persistera.
A
partir de l’époque de Viète, au début du XVII° siècle, les
règles sur le calcul littéral seront parfaitement maîtrisées,
mais les lettres représentent toujours des quantités positives
et jamais des négatives. On ne peut donc trouver, comme solution
d’une équation par exemple x = - 3 ; ce serait absurde.
II
Obstacles
à la compréhension des nombres négatifs :
Nous
avons déjà évoqué le problème du zéro absolu et du zéro relatif.
Il
y a par exemple dans le « Dictionnaire de mathématiques »
de J. Ozanam, de 1691, une vingtaine de sortes de nombres , les
entiers, les rompus(fractionnaires), les incommensurables, les
sourds, ..., et les négatifs ne sont pas mentionnés. Ils apparaissent
dans les résolutions d’équations, mais ils sont alors qualifiés
de racines fausses, feintes, à côté des vraies, qui sont les positives.
La racine fausse est la valeur niée de la lettre inconnue de l’équation.
Voici
comment Descartes présente les différentes solutions d’une
équation :
Mais
souvent il arrive, que quelques unes de ces racines sont fausses,
ou moindres que rien, comme si on suppose que x désigne aussi
le défaut d'une quantité, qui soit 5, on a x + 5 µ 0, qui étant
multipliée par
, pour une équation en laquelle il y a quatre racines, à savoir
trois vraies qui sont 2,3,4, et une fausse qui est 5.
Descartes,
La géométrie, 1637
Nous
remarquerons que dans ce texte, Descartes parle d’une racine
fausse qui est 5.
Les
solutions négatives des équations posent des problèmes aux mathématiciens,
car il faut les interpréter.
Voici
un exemple ce que propose De Morgan (1806-1871), en 1831, devant
des solutions négatives d’un problème :
« L’expression
imaginaire 
et l’expression
négative - b se ressemblent en cela que chacune d’elles,
lorsqu’elle apparaît comme solution d’un problème, indique
qu’il y a là quelque inconsistance ou absurdité . Pour ce
qui concerne la réalité de leur signification, toutes deux sont
également imaginaires puisque 0 - a est tout aussi inconcevable
que .
Un
exemple : Un père a 56 ans et son petit fils en a 29. dans combien
d’années l’âge du père sera-t-il le double de celui
de son fils ?
Soit
x le nombre d’années ; x vérifie : 56 + x = 2 (29 + x). Nous
trouvons x = - 2.
Ce
résultat est absurde mais si nous changeons x en - x et si nous
résolvons : 56 - x= 2 (29 - x) nous trouvons x = 2. La réponse
négative montre que nous avons commis une erreur dans la première
formulation de l’équation. Lorsque la réponse à un problème
est négative, en changeant le signe de x dans l’équation
qui a produit ce résultat, nous pouvons découvrir qu’une
erreur a été commise dans la méthode utilisée pour former cette
équation ou montrer que la question posée par le problème est
trop limitée. »
On
admet les quantités négatives dans les calculs, comme auxiliaires
obligatoires, bien qu’elles n’aient aucun sens par elles-mêmes.
C’est exactement la même position que celle des imaginaires
(que nous nommons de nos jours les nombres complexes). Le malaise
se manifeste particulièrement dans les écrits à caractère pédagogique,
car les auteurs n’arrivent pas à donner d’explications
satisfaisantes.
Remarquons
que jusqu’au XVIII° siècle il y a peu d’occasion de
manipuler des « nombres » négatifs qui ont un sens physique.
En 1730, Réaumur réalise le premier thermomètre scientifique et
il faudra encore un siècle pour que le grand public s’habitue
à des températures en dessous de zéro. En 1713, Farenheit s’arrange
pour que ces sortes de températures soient évitées.
Certains,
malgré tout, gardent des sentiments très prudents, voire hostiles
devant l’usage des quantités négatives, qui ne sont définitivement
pas des nombres.
Voici
comment l’exprime Mac Laurin (1698-1746), dans son Traité
des fluxions, en 1742 :
« L’usage
du signe négatif en algèbre donne lieu à plusieurs conséquences
qu’on a d’abord peine à admettre et ont donné l’occasion
à des idées qui paraissent n’avoir aucun fondement réel. »
Voici
quelques unes de ces idées :
Pascal
(1623-1662), dans ses pensées : « Trop de vérité nous
étonne ; j’en sais qui ne peuvent comprendre que, qui de
zéro ôte 4, reste zéro. »
Arnauld
(un ami de Pascal) : (à propos de l’égalité 
) « Comment un nombre plus petit pourrait-il être à un plus
grand comme un plus grand à un plus petit ? »
Wallis
(1616-1703) : « a étant un nombre positif, le quotient
est infini ; comme
est plus grand,
le dénominateur étant plus petit, il est plus grand que l’infini
tout en étant inférieur à zéro, car le résultat est négatif. »
Et
voici une réaction franchement hostile, de Francis Maseres, mathématicien
anglais, dans sa Dissertation sur l’utilisation du signe
négatif en algèbre (1759): « Elles servent seulement pour
autant que je sois capable d’en juger, à obscurcir la doctrine
toute entière des équations et à rendre ténébreuses des choses
qui sont dans leur nature excessivement évidentes et simples.
Il eût été souhaitable en conséquence que les racines négatives
n’aient jamais été admises dans l’algèbre ou qu’elles
en aient été écartées. »
Devant
de tels obstacles, se font jour alors des stratégies d’évitement
:
Dans
l’écriture des équations : par exemple, il y aura plusieurs
types d’équations du second degré, que nous pouvons citer
avec notre écriture algébrique contemporaine :
x2
+ px = q
x2
+ q = px
x2
= px + q
(x2
= px n’est pas vraiment du second degré) ; le zéro ( 0),
comme solution, mettra très longtemps à être accepté puisqu’il
signifie « rien ».
p
et q représentent des nombres, donc ils sont par essence positifs.
Pour
le choix d’axes pour repérer les points : soit on ne tient
pas compte de la partie de courbe correspondant à des x ou des
y négatifs (ex la courbe qui porte le nom de Folium de Descartes,
ainsi nommée car elle représente la cubique d’équation x3
+ y3 = 3axy, avec x et y positifs), (voir le dessin)
soit on s’arrange pour choisir des axes pour lesquels la
courbe considérée ne correspond qu’à des coordonnées positives.
Il faudra attendre le 18° siècle, pour que Mac Laurin, et surtout
Euler, expliquent comment l’on peut prendre des coordonnées
négatives ; il s’agit d’une approche timide de ce qui
sera appelé « la droite des réels ».
Pour
ne pas avoir à accepter une solution négative pour un problème,
presque jusqu’au 20° s, si la résolution d’une équation
aboutit à une solution négative, on conseille de réécrire le problème
ainsi que nous l’avons vu dans le texte de De Morgan..
II
Problème
particulier de la règle des signes pour le produit:
Voici
ce qu'écrivait l'écrivain français Stendhal, dans son roman autobiographique
: La vie d'Henri Brulard", en 1835, pour exprimer
son désarroi face à la règle des signes :
Mon
grand malheur était cette figure :
Supposons
que RP soit la ligne qui sépare le positif du négatif, tout ce
qui est au-dessus est positif, comme négatif tout ce qui est au-dessous
; comment, en prenant le carré B autant de fois qu'il y a d'unités
dans le carré A, puis-je parvenir à faire changer de côté au carré
C ?
Et,
en suivant une comparaison gauche que l'accent souverainement
traînard et grenoblois de M. Chabert rendait encore plus gauche,
supposons que les quantités négatives sont les dettes d'un homme,
comment en multipliant 10 000 francs de dette par 500 francs,
cet homme aura-t-il ou parviendra-t-il à avoir une fortune de
5 000 000, cinq millions de francs ?
Il
y a une sorte de nécessité à accepter que négatif x négatif =
positif, si l’on veut que l’ensemble des calculs sur
tous les nombres soit cohérent.. En fait, il s’agit, ainsi
que nous l’avons remarqué, plus d’une opération sur
les signes que sur les nombres, puisqu’un « nombre »
négatif, est un nombre positif précédé du signe moins. Quoiqu’il
en soit, cette nécessité, manipulée formellement sans problème
heurte le bon sens, même si quelques mathématiciens, parmi les
plus grands, essaient de donner des justifications, souvent bancales.
Jusqu’à un certain point, le problème de la justification
n’est peut-être pas majeur, dans la mesure où tout marche
bien, où l’on n’aboutit pas à des contradictions. Il
faut arriver à un certain niveau de réflexion épistémologique,
ou se heurter à des cas où les propriétés ne marchent pas pour
avoir un besoin de fondements inattaquables.
Des
explications :
Celle
de Stevin (1625) : .
Il
s'agit en fait de comparer les aires des rectangles en les prenant
globalement, puis en ajoutant les différentes petites parties,
et d'arriver en quelque sorte en développant (a - b) (c - d) où
a, b, c, d sont des réels positifs à la nécessité d'écrire que(
- b) x (- d) = bd.
Celles
de Mac Laurin, (1748) en avance sur son temps car formelle :
On
pourrait de là déduire la règle des signes telle qu'on a coutume
de l'énoncer, qui est que les signes semblables dans les termes
du multiplicateur et du multiplicande donnent + au produit, et
les signes différents donnent -. Nous avons évité cette manière
de présenter la règle, pour épargner aux commençants l'expression
révoltante - par - donne +, qui est cependant une conséquence
nécessaire de la règle. : on peut, comme nous avons fait, la déguiser
, mais non la contredire ou l'anéantir ; le lecteur, sans s'en
apercevoir, en a observé tout le sens dans les exemples précédents
; familiarisé avec la chose, pourrait-il encore s'effaroucher
des mots ? S'il lui reste là-dessus quelque scrupule, qu'il fasse
attention à la démonstration suivante qui attaque directement
la difficulté.
+
a - a = 0, ainsi par quelque quantité qu'on multiplie + a - a,
le produit doit être 0 : si je le multiplie par n, j'aurai pour
le premier terme + na, donc j'aurai pour le second - na, puisqu'il
faut que les deux termes se détruisent. Donc les signes différents
donnent - au produit? Si je multiplie + a - a par - n, par le
cas précédent, j'aurai - na pour le premier terme; donc j'aurai
+ na pour le second, puisqu'il faut toujours que les deux termes
se détruisent : donc - multiplié par - donne + au produit.
Celle
de Euler, (1770) , très naïve et peu convaincante.
Il
nous reste à résoudre encore ce cas où - est multiplié par - ou,
par exemple - a par - b. Il est évident d'abord que quant aux
lettres, le produit sera ab ; mais il est incertain encore si
c'est le signe + ou bien le signe - qu'il faut mettre devant ce
produit ; tout ce qu'on sait, c'est que ce sera l'un ou l'autre
de ces signes. Or je dis que ce ne peut être le signe - ; car
- a par + b donne - ab et - a par - b ne peut produire le même
résultat que - a par + b ; mais il doit en résulter l'opposé,
c'est à dire + ab ; par conséquent nous avons cette règle : +
multiplié par + fait +, de même que - multiplié par -.
Nous
comprenons bien qu'il s'agit jusqu'ici réellement de la règle
des signes, puisqu'il n'y a en fait que des quantités négatives,
désignées par un nombre positif, et précédé du signe -.
Il ne s'agit pas vraiment du produit de deux nombres négatifs.
L'explication
de Cauchy (1821) accentue cette considération définissant une
règle opérant sur les symboles + et -, donc pas sur les nombres
négatifs.
D'après
ces conventions, si l'on représente par A soit un nombre, soit
une quantité quelconque, et que l'on fasse : a = + A,
b = - A
On
aura : +a = + A , + b = - A - a = - A , - b = + A
Si
dans les quatre dernières équations l'on remet pour a et b leurs
valeurs entre parenthèses, on obtiendra les formules
+
(+ A) = + A ; + (- A) = - A ; - (+ A) = - A ; - ( - A) = + A
Dans
chacune de ces formules le signe du second membre est ce qu'on
appelle le produit des deux signes de premier. Multiplier deux
signes l'un par l'autre c'est former leur produit. L'inspection
seule des équations suffit pour établir la règle des signes.
Il
y a une sorte de confusion entre le signe - qui signifie l'opposé
; et Cauchy s'appuie en fait sur le fait que l'opposé de l'opposé
est le nombre lui-même ; il n'y apas ici de considération sur
le produit de nombres négatifs.
Hankel
(1867) aborde le problème dans une toute autre perspective, purement
formelle.
Les
règles de l'addition et de la multiplication doivent être les
mêmes pour tous les réels positifs ou négatifs. Dans cette perspective
les négatifs ont le statut de nombre, à part entière, et il distingue
de façon nette ne signe - de l'opposé et le signe - de la soustraction.
Ce qui est important c'est de pouvoir multiplier des opposés.
Son
explication peut se résumer de la façon suivante :
0
= a x 0 = a x (b + opp b) = ab + a x (opp b)
0
= 0 x (opp b) = (a + oppa) x (oppb) = a x (oppb) + (oppa x oppb)
donc
(oppa) x (oppb) = ab.
D’autres
propositions ont été faites au début du XIX° siècle par Wessel,
Argand ..., donnant une interprétation géométrique des nombres
complexes, incluant les négatifs. Tous ces mathématiciens étaient
très peu connus, et leurs propositions ne seront prises au sérieux
que lorsque les « grands », comme Gauss ou Cauchy, les
reprendront à leur propre compte.
En
fait, le bouleversement apporté par Hankel s’inscrit dans
la rupture idéologique de la pensée mathématique de la fin du
XIX° siècle à propos des relations entre les mathématiques et
la réalité physique. Jusque là, si l’on inventait de nouveaux
« nombres » qui choquaient les idées reçues, ils étaient
automatiquement qualifiés de incompréhensibles, inconcevables,
absurdes, sourds, irrationnels, faux, imaginaires ...
Hankel
rejette cette idéologie. Il accepte que (-3)2 >
(2)2, car ce résultat est cohérent avec la déduction
formelle, et il ne se soucie pas de ce que cela peut avoir de
choquant pour les idées reçues. Il n’y a pas de bon modèle
pour les négatifs, et Hankel refuse cette quête.
Le
pas très important qu’il est possible de franchir à l’époque
de Hankel, et qui ne l’était sans doute pas à l’époque
de Mac Laurin, est de pouvoir considérer les nombres non pas liés
à une réalité physique, mais comme des êtres mathématiques qui
ont certaines relations entre eux.
Le
nombre n'est plus aujourd'hui une chose, une substance qui existerait
en toute indépendance en dehors du sujet pensant ou des objets
qui en sont l'occasion ; ce n'est plus un principe indépendant
comme l'ont cru les pythagoriciens. La question de l'existence
des nombres nous renvoie soit au sujet pensant, soit aux objets
pensés dont les nombres présentent des relations. Le mathématicien
tient pour impossible au sens strict cela seul qui est logiquement
impossible, c'est à dire qui implique une contradiction. Il n'est
pas besoin de démontrer qu'on peut admettre des nombres impossibles
en ce sens. Mais si les nombres considérés sont logiquement possibles,
si leur concept est défini clairement et distinctement, s'il est
donc libre de toute contradiction, la question ne peut plus être
de savoir s'il y a dans le domaine du réel, dans ce qui est intuitif
ou actuellement donné, un substrat pour ce nombre, s'il existe
des objets qui puissent donner matière aux nombres en tant qu'ils
sont relations intellectuelles d'un certain type.
Théorie
du système des nombres complexes, Hankel, 1867.
Hamilton,
en 1835, dans son ouvrage : Theory of conjugate functions ;
on algebra as the science of Pure Time, soulignera cette difficulté
que pour comprendre les nombres et particulièrement une propriété
comme la règle sur le signe d'un produit, il faut rester dans
le domaine purement formel, et se soustraire à toute référence
du monde physique. Au contraire, insiste-t-il, dans le domaine
de la géométrie, c'est cette référence au monde physique qui permet
d'admettre, sans discussion, par exemple le cinquième postulat
d'Euclide sur les parallèles.:
Le
postulat des parallèles est admis par tous sans discussion, parce
qu’il peut se « vérifier » physiquement tous les
jours ; la règle des signes, au contraire heurte le bon sens,
donc demande un justification solide.
Remarquons
que Hamilton, l’inventeur des quaternions, construisait,
à l’époque où il écrivait ce qui précède, une théorie des
couples qui permettait une sorte de justification algébrique de
tous les « nombres » et qu’il serait conduit à
abandonner, pour les quaternions justement, une propriété qui
semblait liée à la notion même de nombre, à savoir la commutativité
du produit. Soulignons aussi qu’à cette même époque, se mettaient
en place des géométries non euclidiennes battant en brèche le
postulat des parallèles.
Notons
enfin que Hankel est de ceux qui travailleront sur les idées de
Grassmann, qui contribua largement à la construction des vecteurs
et espaces vectoriels, sur un mode assez différent de Hamilton.
Ces
nouvelles considérations sur les nombres firent leur chemin très
lentement, et au début du XX° siècle persiste toujours une méfiance
et une certaine difficulté à expliquer les nombres négatifs, dans
les manuels scolaires en particulier.
Conclusion
en forme de réflexion pédagogique
:
Actuellement
il n’est pas si facile d’enseigner les nombres négatifs.
Le modèle concret, sous la forme « gain-dette » par
exemple est une aide pédagogique, d’une certaine façon, mais
il n’est pas toujours possible, même il peut devenir un obstacle.
Cette
histoire montre à loisir qu’il est possible d’acquérir
une certaine facilité, voire une virtuosité opératoire, formellement,
sans avoir de compréhension de ce qu’on manipule. Lorsque
les interrogations viennent, l’obstacle alors se créé. Retenons
les réflexions de Carnot, qui posait des problèmes fondamentaux
: il n’est pas possible que 
,
sauf si l’on abandonne quelques règles établies ; alors,
les « négatifs » ne sont pas des « nombres »
comme les positifs.
Il
faut peut-être aussi se convaincre que les mathématiques servent
à résoudre des problèmes théoriques ou abstraits, et non des problèmes
concrets. La difficulté réside dans les relations entre la réalité
physique et sa modélisation mathématique.
début