PROBABILIDAD
  1. ELEMENTOS DE PROBABILIDAD
  2. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
  3. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUA. DISTRIBUCIÓN NORMAL
  4. MUESTREO
  5. ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA

 
 
 

1. ELEMENTOS DE PROBABILIDAD

  1. DEFINICIONES: Fenómenos aleatorios y deterministas. Espacio muestral. Sucesos. Tipos de sucesos.
  2. OPERACIONES CON SUCESOS: Unión. Intersección, Diferencia, Leyes de Morgan.
  3. PROBABILIDAD: Regla de Laplace. Ley de los grandes números. Definición Axiomática (probabilidad total).
  4. PROBABILIDAD CONDICIONADA: Definición. Sucesos dependientes e independientes. Teorema de la probabilidad compuesta.
  5. ACTIVIDADES


2. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

  1. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD: Definición de variable aleatoria. Relación de conceptos según datos reales y teóricos.Tipos de variables: discretas y continuas.
  2. FUNCION DE PROBABILIDAD. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN (en el caso discreto): Definiciones de la función de probabilidad y de distribución. Obtención de la función de probabilidad a partir de la de distribución y recíprocamente. Cálculo de la probabilidad en un intervalo.
  3. MEDIA Y VARIANZA (en el caso discreto)
  4. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL: Números combinatorios. Descripción. Cálculos de probabilidades utilizando tanto la fórmula como la tabla. Ajuste de una distribución a una binomial.
  5. ACTIVIDADES


3. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUA. DISTRIBUCIÓN NORMAL

  1. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUA: Funciones de densidad y de distribución y sus características.
  2. LEY DE DISTRIBUCIÓN NORMAL. Descripción, media y desviación típica. Distribución normal estándar N(0,1). Tipificación de una variable. La Normal como aproximación de la Binomial.
  3. ACTIVIDADES


4. MUESTREO

  1. MUESTREO: Introducción y definiciones. Métodos de muestreo.
  2. DISTRIBUCIONES DE MUESTREO: Distribución de las medias muestrales. Distribución de las proporciones muestrales.
  3. INTERVALOS DE PROBABILIDAD: Intervalo de probabilidad para la media muestral. Intervalos de probabilidad para la proporción muestral.
  4. ACTIVIDADES


5. ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA

  1. INTERVALOS DE CONFIANZA: Nivel de confianza y significación .Intervalo de confianza para la media poblacional(m ). Intervalo de confinaza para la proporción poblacional(p).
  2. ERROR MÁXIMO ADMISIBLE Y TAMAÑO DE LA MUESTRA: Error máximo admisible para la media poblaciónal y para la proporción poblacional. Tamaño de la muestra para la media poblacional y para la proporción poblacional.
  3. INTRODUCIÓN AL CONTRASTE DE HIPÓTESIS: Contraste de hipótesis sobre la media poblacional. Contrate de hipótesis sobre la proporción poblacional.
  4. ACTIVIDADES

 
 
 
 
 
 
 

ELEMENTOS DE PROBABILIDAD

  1. Obtener el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios: a) Lanzar un dado y una moneda; b) Lanzar dos dados; c) Lanzar tres monedas.

  2.  
  3. Consideremos, entre los habitantes de un municipio, los sucesos A={ser socio del casino}, B={ser socio del club de fútbol local} y C={ser socio de alguna asociación juvenil}.
    1. Expresa en función de A, B y C las siguientes situaciones:
      1. Ser socion de alguna de las asociaciones.
      2. Ser socio de las tres asociaciones.
      3. Ser socio, sólo, del casino.
      4. Ser socio de, como máximo, una o dos asociaciones.
      5. No ser socio de ninguna de las tres.
      6. Ser socio de una sola asociación.
    2. . Describe el significado de los siguientes sucesos:
    AÈBÈC
    (AÈ BÈ C)c
    AÈ B-C
    (AÇ BÇ C)c
    C-(AÈ B)
    (AÇ B)È (AÇ C)È (BÇ C)
  4. Si los sucesos A, B, y C representan: A={llueva hoy}, B={llueve mañana}, C={llueva pasado mañana}
    1. Expresa, mediante las operaciones con sucesos, las siguientes situaciones:
      1. Lluva uno de esos tres días, por lo menos.
      2. Llueva hoy, pero no mañana ni pasado.
      3. No llueva ninguno de los tres días.
      4. Llueva, como máximo, dos de esos tres días.
      5. Llueva hoy, pero no mañana.
    2. Explica el significado de:
    (AÇ B)-C
    (AÈ B)-C
    AÈ BÈ Cc
    (AÇ B)È (CÇ A)c
    (AÈ B)c
    (AÇ Bc)c
  5. De una urna en la que hay 3 bolas blancas y 4 negras se hacen dos extracciones sin reponer la bola sacada. Halla la probabilidad de los sucesos:
    1. A={sacar dos bolas blancas}
    2. B={sacar bolas de diferentes colores}

    3.  
  6. En el experimento de lanzar tres monedas, halla la probabilidad de los siguientes sucesos: A={sacar más caras que cruces}; B={sacar al menos una cruz}; C={sacar como máximo dos cruces}

  7.  
  8. Las probabilidades de los sucesos A, B, y AÇBson respectivamente: p(A)=1/3; p(B)=2/5; p(AÇB)=1/15

  9. Con estos datos, calcula la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos:
    1. Que se cumpla alguno de los sucesos A o B.
    2. Que no se cumpla A y sí B.
    3. Que se cumpla uno solamente.
    4. Que no se cumpla ni a ni B.

    5.  
  10. En un banco hay dos alarmas Ay B. En caso de atraco, la probabilidad de que se activen A, B o ambas, es: P(A)=0,75; P(B)=0,85; P(AÇB)=0,65. Calcular la probabilidad de que:
    1. Se active alguna de las dos.
    2. Se active sólo una de ellas.
    3. No se active ninguna.

    4.  
  11. Sean los sucesos: A={ser oyente de RNE}; B={ser oyente de la SER} y C={ser oyente de M80}. Expresa mediante las operaciones los sucesos:
    1. Ser oyente de, al menos, una emisora.
    2. Ser oyente de RNE, pero no de la SER ni de M80.
    3. Oír sólo dos emisoras.
    4. No oír más de una emisora.
    5. Oír alguna emisora pero no las tres.

    6.  
  12. Un cartero reparte tres cartas al azar entre tres destinatarios. Calcula la probabilidad de que al menos una de las tres cartas llegue a su destino correcto.

  13.  
  14. En una ciudad hay dos periódicos A y B. Describe, mediante las operaciones con sucesos, las siguientes situaciones:
    1. Ser lector de algún periódico.
    2. Leer sólo uno de ellos.
    3. Leer los dos.
    4. No leer ninguno.
    Si en esa ciudad se sabe que los porcentajes de ciudadanos que leen A, B o los dos son, 50%, 45% y 20%, halla la probabilidad de cada uno de los sucesoso descritos.
     
  15. Sean los sucesos A={llueva hoy}, B={llueve mañana}, con las probabilidades: P(A)=0,6, P(B)=0,3 y P(B/A)=0,5. Se pide la probabilidad de que:
    1. Llueva los dos días.
    2. Llueva sólo hoy.
    3. Llueva sólo uno de esos dos días.

    4.  
  16. Un dado numerado del 1 a 6. se ha cargado de modo que la probabilidad de obtener un número sea proporcional a dicho número. Si se lanza una vez, halla la probabilidad de que salga una puntuación impar.

  17.  
  18. Una entidad bancaria tiene tres sistemas de alarma independientes, cada uno con una probabilidad de 0,9 de dispararse en caso de robo. Si se porduce un robo calcula la probabilidad de que:
    1. Ninguna alarma suene
    2. Suene una sola alarma
    3. Alguna alarma suene.

    4.  
  19. En una ciudad hay tres periódicos, A, B y C. Se sabe que:

  20. El periódico A lo leen el 20 % de los habitantes.
    El periódico B lo leen el 10 % de los habitantes.
    El periódico C lo leen el 5 %.
    Además, A y B lo leen el 4%, A y C el 3 %, B y C el 2 % y finalmente los tres periódicos los leen el 1%.
    Elegido un habitante de la ciudad al azar, hallar la probabilidad de que no lea ninhguno de los tres periódicos.
     
  21. En una comunidad, el 58% de sus habitantes son lectores del diario A, el 35% del B y un 12% de ambos. Si se elige un ciudadano al azar, calcula las probabilidades de:

  22. ¤ Ser lector de algún diario.
    ¤ No leer prensa
    ¤ Leer sólo el diario A
    ¤ Leer sólo uno de los dos diarios.
     
  23. Un colegio tiene 5000 estudiantes, y se sabe que: 300 leen inglés, 200 leen francés, 50 leen alemán, 20 leen francés y alemán, 30 leen inglés y francés, 15 inglés y alemán, además 10 leen los tres idiomas. Si al azar se elige un estudiante del colegio, ¿cuál es la probabilidad de que el estudiante:

  24. a) lea dos y solamentes dos idiomas b) lea cuanto menos un idioma?

    PROBABILIDAD CONDICIONADA

  25. Se lanzan dos dados. Si la suma de los puntos de las caras superioes es 7, hallar la probabilidad de que en alguno de los dos salga 3.

  26.  
  27. De una baraja de 40 cartas se extran sucesivamente dos cartas. Hallar la probabilidad de que ambas sean reyes si: a) la primera carta se devuelve a la baraja. b) la primera carta no se devuelve a la baraja.

  28.  
  29. Sea el experimento que consiste en extraer sucesivamente tres bolas de una caja que contiene cinco bolas rojas, tres blancas y dos negras. Hallar la probabilidad de que salgan en el orden roja, blanca y negra.

  30.  
  31. Se lanza una moneda tres veces al aire. Hallar la probabilidad de que salga la primera vez cara, la segunda cruz y la tercera cara.

  32.  
  33. Se lanza un dado y una moneda. Hallar la probabilidad de que salga 3 y cara.

  34.  
  35. En un colegio hay 60 alumnos de 2º Bachiller. De ellos 40 estudian inglés, 24 estudian francés y 12, los dos idiomas.Se elige al azar un alumno del curso, y si A y B son los sucesos:

  36. A: "El alumno elegido estudia inglés" B: "El alumno elegido estudia francés".
    Determina las probabilidades de los siguientes sucesos:
    A
    B
    AÇB
    AÈB
    AÈBc
    P(B/A)
    P(B/ AÈB)
    P(B/ AÈB)
    P(A/Bc)

     
  37. Un dado lastrado de tal modo que la probabilidad de obtener un número es proporcional a dicho número (por ejemplo, la probabilidad de que salga 4 es el doble de la probabilidad de que salga 2).

  38. ¿Cuál es la probabilidad de que salga 3 si se sabe que salió número impar?
    ¿Cuál es la probabilidad de que salga número par si se sabe que salió un número mayor que 3?.
     
  39. Una urna contiene ocho bolas rojas y cuatro bolas blancas. Se sacan tres bolas de una urna, una tras otra. Hallar la probabilidad de que las dos primeras sean rojas y la tercera, blanca.

  40.  
  41. Se dan a un jugador cuatro cartas de una barja de 40. ¿Cuál es la probabilidad de que las cuatro sean oros?.

  42.  
  43. En un taller el 25% de los trabajadoras son mecánicos, el 15% son electricistas y un 10 % tienen las dos especialidades. Se selecciona un trabajador del taller al azar.

  44. ¿Cuál es la probabilidad de que el trabjador seleccionado sea mecánico o electricista?
    Si se sabe que el trabajador seleccionado es mecánico, ¿cuál es la probabilidad de que sea electricista.
    Si se sabe que el trabajador seleccionado es electricista, ¿cuál es la probabilidad de que sea mecánico?.
     
  45. ¿Cuál es la probabilidad de ganar en una tómbola sabiendo que sólo puedes jugar tres veces y que la probabilidad de ganar es 0,02.

  46.  
  47. Se reparten, al azar, cinco premios entre cuatro mujeres y seis hombres. Calcula la probabilidad de que:
    1. Las cuatro mujeres resulten premiadas.
    2. Se premie a alguna mujer.

    3.  
  48. Se tira un dado dos veces y se consideran los sucesos A={sacar suma 7} y B={al menos una puntuación es múltiplo de 3}. ¿Son A y B sucesos independientes?.

  49.  
  50. Se tienen los sucesos A, B. Si las probabilidades P(A)=0,7; P(B)=0,6 y P(AcÈBc)=0,58:
    1. ¿Son independientes A y B?.
    2. Halla la probabilidad de que no se cumpla ni A ni B.

    3.  
  51. En una clase de Ciencias Empresariales, el 65% de los alumnos aprueban Economía y el 50% Estadística. Se sabe además, que la probabilidad de aprobar Economía habiendo aprobado Estadística es 0,8. Calcula el porcentaje de alumnos que:
    1. Aprueba las dos asignaturas.
    2. Suspende Estdística y apruebe Economía.

    3.  
  52. Se estima que la probabilidad de que un hombre de 40 años cumpla 65 es de 0,76. Si tres amigos se reúnen para celebrar su cuadragésimo cumpleaños, halla la probabilidad de que en su 65 aniversario:
    1. Vivan los tres amigos.
    2. Los tres hayan fallecido.
    3. Viva alguno de ellos.

    4.  
  53. En cada uno de los siguientes apartados señala la respuesta correcta:
    1. Si P(AÈB)=P(A)+P(B)
    2. a) Incompatibles b) Indeterminados c) No puede saberse
    3. Si los sucesos A y B son independientes:
    4. a) AÇB=f  b) AÈB=E c) P(A/B)=P(A)
    5. Sea A un sucesos tal que P(A)=1,2, entonces:
    6. a) A es el suceso imposible b) A es el suceso seguro c) P no es probabilidad
    7. Si AÌ B, se puede decir que los sucesos A y B::
    8. a) A y B son independientes b) P(A)³ P(B) c) No pueden ser incompatibles
    9. La probabilidad de A es tal que 0<P(A)<1, entonces:
    10. a) P(Ac)=1/P(A) b) P(AÈE)=P(A) c) A no es el suceso seguro
    11. Sabiendo que P(AÈE)=P(A)·P(B), se tiene que :
    12. a) P(A/B)=1 b) P(A/B)=P(B) c) P(A/B)=P(A)
    13. Se sabe que P(AcÇBc)=0,3; P(A)=0,6; P(AÇB)=0,2, entonces P(B) es igual a:
    14. a) 0,3 b) P(A) c) No puede saberse
    15. Siendo E el suceso seguro, para todo suceso A se tiene que:
    a) P(AÇB)=1 b) A es independiente de B c) P(A/B)=1

     BAYES Y PROBABILIDAD TOTAL

  54. En cierta comunidad, un 20% de sus integrantes están en paro, y, de los mismos, un 10% tienen estudios superiores. De los empleados, el 25% alcanza ese nivel de estudios. Elegido un individuo al azar, halla la probabilidad de:
    1. Que esté en paro y no tenga estudios superioes.
    2. Que tenga estudios superiores
    3. Que esté en paro sabiendo que no tiene estudios superiores.

    4.  
  55. La población estudiantil del I.E.S. se reparte entre 3º y 4º. De Secundaria y 1º y 2º de Bachillerato, según el 32%, 30%, 21%, y 17% respectivamente. Los porcentajes de alumnos en esos cursos son: 52%, 55%, 59% y 64%. Elegido un alumno al azar, ¿qué probabilidad hay de que sea varón?
  56. Un joyero compra los relojes a dos casas proveedoras. La primera le sirve el 60% de los relojes, de los cuales el 0,4 son defectuosos, la segunda le proporciona el resto, siendo defectuosos el 1,5 %. Un día el joyero, al vender un reloj, observa que éste no funciona. Halla la probabilidad de que el reloj proceda de la primero casa proveedora.

  57.  
  58. En una fabrica de tornillos, dos máquinas A y B suministran, respectivamente, el 35% y el 65% de la producción. Los porcentajes de tornillos defectuosos producidos por A y B so respectivamente el 9% y el 10%. Hállese la probabilidad de que un tornillo elegido al azar:
    1. Sea defectuoso y fabricado por B.
    2. Sea defectuoso.
    3. Haya sido fabricado por B, sabiendo que es defectuoso.

    4.  
  59. Una caja contiene tres monedas. Una moneda es corriente, otra tiene dos caras y la otra está cargada de modo que la probabilidad de obtener cara es 1/3. Se selecciona una moneda al azar y se lanza al aire. Halla la probabilidad de que salga cara.

  60.  
  61. Un bien es producido en tres fábricas diferentes, F1, F2 y F3, a razón de 100,140 y 160 unidades diarias. Además, se sabe que un 30%, 45% y 20%, respectivamente, de las cantidades producidas son para exportar. Si se elige una unidad del bien al azar, ¿qué probabilidad hay de que sea para exportar?. Sabiendo que es para exportación, ¿qué probabilidad hay de que la haya fabricado F1?.

  62.  
  63. Los hombres y mujeres que se presentan a cierta oposición están en la relación 3/4. Si un 25% de los hombres y un 20% de las mujeres han aprobado, ¿qué probabilidad hay de que, elegida al azar, una persona suspensa sea hombre?.

  64.  
  65. Una caja contiene 4 bolas blancas y 6 negras. Se extrae una bola y se reemplaza por tres de ese color; a continuación se saca otra bola y resulta ser blanca. Halla la probabilidad de que la bola extraída en la primera ocasión fuera blanca también.

  66.  
  67. Una urna contiene 2 bolas blancas y 3 rojas; otra idéntica tiene 3 blancas y 5 rojas. Se saca una bola de la primera urna y se introduce en la otra, extrayendo, a continuación, una bola de esta última urna. Calcula la probabilidad de que:
    1. La segunda bola extraída sea blanca.
    2. Haya sido blanca la bola trasvasada de urna, si la segunda sacada es blanca.

    3.  

       
       
       

       
    DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
       
    FUNCION DE PROBABILIDAD. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN (en el caso discreto): Definiciones de la función de probabilidad y de distribución. Obtención de la función de probabilidad a partir de la de distribución y recíprocamente. Cálculo de la probabilidad en un intervalo.MEDIA Y DESVIACIÓN TÍPICA.
  1. Al lanzar dos dados 350 veces y observar la suma de puntuaciones de sus caras superiores se han obtenido los resultados siguientes:
      1.  
        SUMA
        2
        3
        4
        5
        6
        7
        8
        9
        10
        11
        12
        TOT.
        Fi
        13
        16
        31
        37
        46
        61
        49
        35
        29
        21
        12
        350
    Elabora la tabla de frecuencias relativas, así como la distribución de probabilidad de la variable aleatoria asociada.
         
  2. La distribución de probabilidad de la variable aleatoria X viene dada por la tabla:
      1.  
        X
        -2
        -1
        0
        1
        2
        3
        Fi
        0,07
        m
        0,36
        0,1
        0,22
        0,04
    Calcula f(-1), f(2) y f(1,5). Calcula y dibuja la función de distribución.
         
  3. Calcula la función de probabilidad de una distribución discreta que tiene por función de distribución:
      1. Calcular además la probabilidad de los intervalos: (0,4] y [1,3]
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         

  4. Calcular la esperanza matemática de los ejercicios 43 y 44.
      1.  
  5. Un monedero contiene 3 monedas de 25 pesetas, 5 de 5 pesetas, y 2 de 1 peseta. Se sacan dos monedas sin reposición y se anota el total de pesetas extraídas. Halla la función de probabilidad y la media de la distribución.
      1.  
  6. Considerermos la función de distribución de la variable X.
      1. Halla la función de cuantía correspondiente.

        Calcula P(1<x£ 3); P(1£ x£ 3); P(1£ x<3).

        Dibujar la función de probabilidad y la de distribución.
         
         
         
         
         
         
         
         

  7. Juzga la equidad de un juego que consiste en apostar 2 euros y lanzar dos dados, ganándose 10 euros al sacar parjas.
      1.  
  8. En un juego se tiran dos dados: si sale un as doble, se ganan 15 euros y, si se obtiene cualquier otro doble, 5 euros. ¿Se trata de un juego equitativo?.
      1.  
  9. Se lanzan tres monedas y se Observa la variable X: número de caras menos número de cruces sacadas. Establece la distribución de probabilidad X. Calcular la media y la desviación típica, Hallar la función de distribución y dibujarla.
      1.  
  10. Un distribuidor de llantas las vende en lotes de cuatro. La distribución de probabilidad del número de defectuosas en cada lote es la siguiente:
      1.  
        K
        0
        1
        2
        3
        4
        P(Y=K)
        0,9
        0,05
        0,03
        0,015
        0,005
    Calcular la media y la desviación típica. Obtener la función de distribución y dibujarla.
         
  11. Una variable aleatoria discreta tiene la siguiente distribución de probabilidad:
      1.  
        X
        3
        4
        5
        6
        7
        8
        P(X)
        1/9
        1/18
        1/3
        5/18
        m
        1/6
    Completa la distribución de probabilidad. Calcula la media y desviación típica. Representa gráficamente las funciones.
         
    DISTRIBUCIÓN BINOMIAL: Números combinatorios. Descripción. Cálculos de probabilidades utilizando tanto la fórmula como la tabla. Ajuste de una distribución a una binomial.
     
  12. Se lanza tres veces una moneda trucada, donde la probabilidad de obtener cara es p(c)=1/4. Hallar las probabilidades de los sucesos A={obtener tre caras}, B={obtener al menos una cara}. Realizar el mismo problema considerando que p(c)=3/4.
      1.  
  13. Un examen de opción múltiple está compuesto de 8 preguntas, con cuatro respuestas posibles cada una, de las cuales sólo una es correcta. Supón que uno de los estudiantes que realiza el examen responde al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que conteste correctamente a 5 o más pregunatas?. ¿Cuál es la probabilidad de que no acier5te ninguna?.
      1.  
  14. Una moneda está trucada de forma que la probabilidad de sacar cara es 7/11. Se lanza la moneda 10 veces. Encuentra: a) la probabilidad de sacar 8 caras. b) la probabilidad de sacar al menos una cruz.
      1.  
  15. La probabilidad de que un tirador haga blanco de un disparo es de 0,4. Si efectúa 6 disparos, halla: a) la probabilidad de que acierte los 6 disparos. b) la probabilidad de que acierte 4 disparos como máximo. c) El número medio de aciertos.
      1.  
  16. Supon que el 40% de los españoles tiene RH+. Si tomamos una muestra de 5 personas, ¿qué probabilidad hay de que todos sean RH+?¿Y de que no lo sea ninguno?.
      1.  
  17. Un sistema de protección contra cohetes está construido con n unidades de radar que funcionan independientemente, cada una con una probabilidad de 0,9 de detectar un cohete que ingresa en la zona que cubren todas las unidades. Se pide: a) si n=5 y un cohete entra en la zona ¿cuál es la probabilidad de que cuatro unidades de radar detecten el cohete?. b) ¿Cuál debe ser el valor de n para que la probabilidad de detectar el cohete que entra en la zona sea de 0,999?.
      1.  
  18. Un laboratorio afirma que una droga causa efectos secundarios en una proporción de 3 de cada 100 pacientes. Para contrastar esta afirmación, otro laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los que aplica la droga. ¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos?: a)Ningun paciente tenga efectos secundarios. b) Al menos dos tengan efectos secundarios. c) ¿Cuál es el número medio de pacientes que espera el laboratorioque sufran efectos secundarios si elige 100 pacientes al azar?.
      1.  
  19. La composición de una urna es de 5 bolas blancas, 4 rojas y 3 verdes. Se hacen 6 extracciones, con reemplazamieno, de la misma. Calcula: a) La probabilidad de sacar más de tres bolas blacas. b) El número medio de bolas blancas sacadas. b) La composición más probable de bolas sacadas.
      1.  
  20. En un grupo de 10 alumnos de un centro educativo se ha comprobado que cada uno de ellos falta a clase el 5% de los días. Calcular la probabilidad de que en un día determinado: a) No se registre ninguna ausencia. b) Falten a clase más de 5 alumnos. c) No asista a clase ningún alumno. d) Falte a clase un único alumno. e) Falten a clase menos de 3 alumnos.

  21.  
  22. En cada uno de los siguientes apartados señala la respuesta correcta:

  23.  
    1. La tabla adjunta no corresponde a uan distribución de probabilidad porque
      1.  
        X
        0
        1
        2
        3
        4
        f
        610
        198
        100
        57
        35
         
        a) X toma un valor negativo b) La suma de probabilidades es 1 c) f(-1) es negativa d) Sí es una distribución de probabilidad
    2.  La media de una distribución de probabilidad puede ser negativa:
      1.  
        a) Nunca b) A veces c) Sólo si las probabilidades son negativas d) Ninguna de las anteriores
    3.  La desviación típica de una distribución de probabilidad es negativa:
      1.  
        a) Nunca b) A veces c) Siempre d) Ninguna de las anteriores
    4.  Una variable binomial X puede tomar valores:
      1.  
        a) Negativos b) Racionales c) Sólo números naturales, incluido el 0 d) Sólo números decimales incluido menores que 1.
    5.  Si X es una variable con distribución binomial B(n,p), el producto np(1-p) representa:
      1.  
        a) El valor medio b) La probabilidad de que X=n c) La varianza d) No tiene significado especial.
         
    Ajuste de una distribución a una binomial
  24. Sobre una variable aleatoria X se efectúan 1000 observaciones, con los siguientes resultados:
          1.  
            X
            0
            1
            2
            3
            4
            f
            610
            198
            100
            57
            35
    Ajusta una distribución binomial a los datos de la tabla y halla las frecuencias teóricas.
         
  25. Cierta variable aleatoria X presenta la diastribución de frecuencias mostrada en la tabla:
          1.  
            X
            0
            1
            2
            3
            TOTAL
            fi
            292
            421
            250
            37
            1000
            fr
            0,292
            0,421
            0,250
            0,37
            1
    Ajusta una distrubución binomial a tales datos y estima la bondad del ajuste.
     
  26. En una fábrica de tornillos de precisión se ha observado el número de piezas defectuosas diarias, obteniéndose la siguiente distribución, tras 30 días de recuento:
  27. Número de afectados
    Número de días
    16 
    11 
    Se pide:
    a) Evalúa la media diaria experimental de defectos y, a partir de ella, ajusta una binomial suponiendo que n=3.
    b) Calcula la probabilidad teórica de que, en un día, no aparezca más de una pieza defectuosa.
    c) Evalúa la diferencia entre la última probabilidad teórica calculada y la experimental correspondiente. ¿Te parece bueno el ajuste realizado?.
     
     

    DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUA. DISTRIBUCIÓN NORMAL

    DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUA: Funciones de densidad y de distribución y sus características.
    LEY DE DISTRIBUCIÓN NORMAL. Descripción, media y desviación típica. Distribución normal estándar N(0,1). Tipificación de una variable. La Normal como aproximación de la Binomial.

     
    TABLAS:
  1. Utilizando la tabla de la distribución normal calcular la probabilidad de que:
  2. P(z£1,47) P(z£-0,79) P(z³0,16)
    P(z³-2,12) P(-2£z£-0,03) P(-0,25£z£2,22)
    P(1,15£z£3,1) P(-2£z£0,03) P(z£4)

     
  3. Utilizando la tabla de la normal calcular el valor de k:
  4. P(z£k)=0,9292 P(z£k)=0,2142 P(z³k)=0,4404
    P(z³k)=0,9830 P(-2£z£k)=0,4652 P(k£z£2,22)=0,5855
    P(k£z£3,1)=0,1241 P(k£z£0,03)=0,55 P(z£k)=1

    USO DIRECTO DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

  5. La altura de una población se distribuye normalmente con media 170 cm. y una desviación típica de 6 cm. Calcula la probabilidad de que elegido un individuo al azar tenga estatura comprendida entre 158 y 182 cm.

  6.  
  7. Un equipo de fútbol ha conseguido en las últimas temporadas unos resultados que se distribuyen normalmente con una media de 25 victorias y una desviación típica de 5. ¿Cuál es la probabilidad de que gane más de 30 partidos por temporada?.

  8.  
  9. Se tiene una población en la que la distribución de sus pesos es normal de media 72,5 kg. y la desviación típica es de 9 kg. Se pide:

  10. a) ¿Qué porcentaje de esa población tiene un peso superior a 90 kg.
    b) Si elegimos una muestra de población de 100 personas, ¿cuántas tienen su peso comprendido entre 75 y 80 kg.?
     
  11. Dos componentes de un sistema funcionan independientemente, distribuyéndose el rendimiento de la primera según una normal N(6, 1'5) y el de la segunda por N(43, 3'5). El sistema funciona si el rendimiento de la primera componente está entre 3 y 8 y el de la segunda entre 38 y 48. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema funcione?.

  12.  
  13. El peso de los adultos de una población numeros se distribuye normalmente con media de 65 kg y desviación típica de 3 kg. Se eligen dos individuos al azar. Calculando las correspondientes probabilidades, justifica qué es más probable.

  14. a) Que cada uno de los individuos tenga un peso comprendido entre 63,5 y 66,5.
    b) Que uno de ellos tenga un peso comprendido entre 62 y 68 kg. y el otro tenga un peso no comprendido entre 62 y 68 kg.
     
  15. La altura de los mozos de un llamamiento al Servicio Militar sigue una distribución normal de media 1,7 m y desviación típica 0,1. Se desea saber:

  16. a) Probabilidad de que un mozo, al azar, tenga una altura entre 1,7 m y 1,9 m.
    b) Si el llamamiento consta de 50.000 mozos y se libran por falta de talla los que tienen una altura inferior a 1,5 m. ¿cuál es el número esperado de libramientos por esta causa?

    USO INDIRECTO DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

  17. Supongamos que el pesos de una población de individuos tiene distribución normal N(74,7), en Kg.

  18. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo pese más de 70 kg?.
    b) ¿Qué porcentaje menos de 92?
    c) ¿Qué porcentaje entre 70 y 92?
    d) ¿Qué peso debe tener un individuo para que el 16,6 % de la población pese más que él?
    e) ¿Y qué peso para que el 35% pese menos?.
     
  19. Los 600 soldados de un cuartel posee una altura que se distribye según una normal m=166 cm y s=12 cm. Halla el número aproximado de soldados cuya altura esté comprendida entre los 165 y 182 cm. ¿Cuántos mediran más de 190 cm?. Si los mandos del ejercito deben formar un batallón de "gastadores" con el 4% de los soldados más altos ¿a partir de qué altura deben seleccionarse éstos?.

  20.  
  21. Para aprobar unas oposiciones se necesita obtener 100 puntos, o más, en una prueba. Por experiencias anteriores se sabe que la distribución de los puntos obtenidos por los opositores es una normal normal de media 110 puntos y desviación típica 15.

  22. a) Qué probabilidad tiene el opositor de aprobar.
    b) Si sabemos que hay 1000 opositores y sólo 300 plazas, cuántos puntos se deberá exigir para ajustar el número de plazas al número de opositores aprobados.
     
  23. En una cierta población el coeficiente de inteligencia (C.I.) se distribuye normalmente N(98,22). Sabiendo que un 3% de los individuos son deficientes, un 70% normales, un 22% muy inteligentes y un 5% genios. ¿Qué C.I. ha debido tomarse como frontera entre las diversas clases de individuos?.

  24.  
  25. A lo largo de las diferentes pruebas de acceso a la Universidad, se ha encontrado que la distribución de las calificaciones siguen una ley normal de media 6,3 puntos y desviación típica 0,7. Se pide:

  26. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la nota de un estudiante elegido al azar sea superior a 7,6?
    b) Si un centro presenta 200 alumnos a la prueba, ¿cuántos de ellos, en media, superan la misma?.
    c) Si un alumno tiene un 7,4 ¿cuántos alumnos de los 200 lo superan?.
    d) ¿Qué nota tienes que sacar para entrar en Medicina si sólo pueden entrar en dicha carrera un 5%?.

    LA NORMAL COMO APROXIMACIÓN DE LA BINOMIAL

  27. Un examen tiene 40 preguntas del tipo Verdadero/Falso, el examen se aprueba si se contestan correctamente al menos 22 preguntas. Si un alumno responde a las preguntas lanzando una moneda correcta, se pide:

  28. a) Probabilidad de aprobar el examen.
    b) Probabilidad de que el número de respuestas acertadas esté comprendido entre 25 y 30.
     
  29. Se ha encuestado a la población de cierto municipio, encontrándose que un 34% son socios del casino. Elegidos 50 ciudadanos al azar, ¿cuál será la probabilidad de que haya exactamente 18 socios? ¿y más de 20?.

  30.  
  31. En un proceso de control de calidad se sabe que el 3% de los artículos son defectuosos. Si éstos se colocan en cajas de 300, se pide:

  32. a) Probabilidad de que una caja contenga 10 o más artículos defectuosos.
    b) Probabilidad de que el número de defectuosos esté comprendido entre 15 y 20, ambos inclusive.
    c) Si se rechazan todas las cajas con más de 10 defectuosso y se examinan 125 cajas, ¿cuántos de ellas se rechazarán?
     
  33. El porcentaje de españoles con estudios medios es del 35%. Elegidos 8 al azar, calcula la probabilidad de que entre 3 y 5 (ambos incluidos) tengan estudios medios, aplicando:

  34. a) La distribución binomial.
    b) La aproximación normal a la binomial.
     
  35. La tasa de desempleo en una comunidad es del 16% de los trabajadores. Se selecciona una muestra de 100 trabajadora. Calcula la probabilidad de que la muestra contenga.

  36. a) Al menos 10 desempleados.
    b) No más de 5 desempleados.
    c) Exactamente 8 desempleados.
     
  37. En cada uno de los siguientes apartados señala la respuesta correcta:

  38.  
    1. A la vista de la figura puede afirmarse que:
      1.  
        a) s1>s2 b) m1>m2 c) m1¹m2 d) s1<s2
    2.  La suma de las áreas sombreadas de la figura es
      1.  
        a) 0,818 b) 0,5 c) Depende de s d) 0,182
    3.  Si la variable X es N(0,3) y Z la N(0,1), la probabilidad P(1,5<X<2,25) es igual a la probabilidad de Z en el intervalo:
      1.  
        a) (4'5,6'75) b) (-1'5,-0'75) c) (0'5,0'75)
    4.  La distribución N(8,2) es una buena aproximación de la binomial de parámetros:
      1.  
        a) n=8, p=2. b) n=8, p=1/4. c) n=16, p=1/2.

     

    MUESTREO

       
    MUESTREO: Introducción y definiciones. Métodos de muestreo.
  1. En una ciudad se quiere hacer una encuesta para conocer el porcentaje de ciudadanos que aprueban la gestión del Ayuntamiento en cuestiones medioambientales (limpieza de calles, contaminación, cuidado de parques, etc.). Se pretende que la muestra sea representativa por sexo y edad; para la edad se establecen tres estratos: 10 a 25 años (jóvenes), 25 a 60 años (adultos) y mayores de 60. El número de personas de cada grupo es: 10-25, 3000; 25-60, 8500; mayores de 60, 2.500. Por sexo, la distribución es: 6.800 hombres y 7.200 mujeres, que se suponen proporcionales al grupo de edad.

  2. Si el tamaño de la muestra es de 500 personas, determina, redondeando si es necesario, el tamaño muestral correspondiente a cada estrato.
     
  3. Supongamos que en un centro escolar los alumnos y docentes se distribuyen de acuerdo con la tabla siguiente:
  4. ALUM. Y DOCENTES
    3ºESO 
    4ºESO 
    1ºBACH. 
    2ºBACH. 
    PROF. 
    HOMBRES 
     85
    80 
    100 
    83 
    24 
     MUJERES
    95 
    96 
    110 
    91 
    31 
    Si quieres realizar una encuesta entre ellos de tamaño n=80, por el método de muestreo estratificado por sexo y nivel de trabajo, ¿a cuántas personas de cada clase deberás preguntar?.
     
  5. Supongamos que en tu ciudad hay cuatro institutos (IES), cuyo alumnado (4.000 alumnos) se distribuye como sigue:
  6. ALUMNOS
    IES 1
    IES 2 
    IES 3
    IES 4 
    HOMBRES 
    370
    460 
    620 
    520 
     MUJERES
    340 
    500 
    650 
    540 
    Si queremos realizar un muestreo de tamaño 400, estratificado por sexo y centro escolar, ¿cuáles serían los tamaños muestrales correspondientes a cada estrato?.
     

    DISTRIBUCIONES DE MUESTREO: Distribución de las medias muestrales. Distribución de las proporciones muestrales.

    DISTRIBUCIÓN DE MEDIAS MUESTRALES

  7. En el último año, el peso de los recién nacidos en una maternidad se ha distribuido según una ley normal de media m=3.100 g. y deviación típica s=150 g.:

  8. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un recién nacido pese más de 3.130 g.?
    b) ¿Qué distribución seguirán las muestras de tamaño 100 de recién nacidos?
    c) ¿Cuál será la probabilidad de que la media de una muestra de 100 recién nacidos sea superior a 3.130 g.?
     
  9. En una oposición en la que participaban miles de candidatos se hizo un examen tipo test. Las calificaciones se distribuyeron normalmente con m=72 puntos y desviación típica s=10:

  10. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un opositor elegido al azar obtenga más de 76 puntos?.
    b) ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de 64 opositors obtenga un promedio superior a 76 puntos?
     
  11. Supongamos que la estatura media de las alumnas de segundo de Bachillerato es de 165 cm, con deviación típica de 8 cm.:

  12. a) Halla los parámetros de las medias muestrales de tamaño n=36 y n=64,
    b) ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de 36 alumnas tenga una media de 167 o más cm? ¿Y de que una muestra de 64 alumnas supere esa misma medida?.
    c) ¿Tiene algo de extraño que una muestra de tamaño 36 dé una medida de 170 cm?.
     
  13. A lo largo de las diferentes pruebas de selectividad se ha observado que la distribución de las calificaciones siguen una ley normal de media 5,3 puntos y desviación típica de 0,8.

  14. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la nota de un estudiante elegido al azar sea superior a 5,7?.
    b) ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de tamaño 49 alumnos tenga una media superior a 5,7?
     
  15. El peso de los adultos de una población numerosa se distribuye normalmente con media 65 kg y desviación típica 12 kg. Se elige una muestra de 30 individuos al azar. Calcula la probabilidad de que la media de esa muestra sea:

  16. a) mayor de 60 kg
    b) mayor de 68 kg
    c) esté en el intervalo (60,68)
     
  17. El perímetro torácico de los individuos adultos (hombres) en una problación se distribuye según la ley normal N(90,6) cm.

  18. a) ¿Cómo se distribuyen las medias de las muestras de tamaño 81 extraídas de esa población?.
    b) ¿Cuál es la probabilidad de que una de esas medias sea menor de 87 cm?¿Y de que sea mayor de 91 cm.?
     
  19. La altura de los mozos de un llamamiento al Servicio militar sigue una distribución normal de media 174 y desviación típica 10 cm. Si se halla la media  de una muestra de tamaño 144, calcula P(173<<175).

  20.  
  21. El tamaño de las parcelas de una determinada provincia no se distribuye normalmente. Si su media es de 3 ha y su desviación típica es de 0,6 ha, ¿cuál es la probabilidad de que, elegidados al azar, 225 propietarios tengan, al menos, un total de 625,5 ha? (Sugerencia: determina antes la media de esas parcela).

  22.  
  23. La contidad de dinero que llevan (en sus bolsillos) las personas de una determinada ciudad no es normal (no se distribuye normalmente), con media m=3.000 ptas. y s=600 ptas. ¿Cuál es la probabilidad de que un grupo de 125 individuos lleve un total inferior a 352.500 ptas.?

  24. DISTRIBUCIÓN DE PROPORCIONES MUESTRALES

  25. Se sabe que el 60% de los adultos de un área geográfica asiste regularmente a programas culturales. Se obtiene una muestra aleatoria de 150 adultos. Se desea conocer la probabilidad de que la proporción muestral esté conprendida entre los valores 0,5 y 0,7.

  26.  
  27. En unas elecciones a alcalde, el 56% de los votantes optó por el candidado A mientras que el 44% lo hizo por el candidato B.

  28. a) Halla la distribución de probabilidad de las muestra de tamaño 50 extraídas de la población. Haz lo mismo para n=100.
    b) Calcula la probabilidad de que en una muestra de 50 votantes haya, al menos, 30 favorables al candidato A.
    c) Si la muestra es de tamaño 100, ¿cuánto es la probabilidad de que una mayoría apoye al candidato B?.
     
  29. En las elecciones a decano de una facultad se presentaron dos candidatos: A y B. El resultado de la votación fue del 60% para A y 40% para B. Si antes de la elección se hizo una encuesta a 36 votantes, ¿cuál habría sido la probabilidad de acertar al ganador? (Sugerncia: P(votar A>0,5)).

  30.  
  31. Halla la probabilidad de que en los 200 próximos nacimientos que se produzcan en tu ciudad:

  32. a) menos del 40% de niños;
    b) entre el 48% y el 52% sean niños.
    (Nota: La probabilidad (a posteriori) de que un recién nacido sea niña es p=0,485.)
     
  33. De 1.000 muestras de 200 niños cada una, ¿en cuántas de ellas cabe esperar:

  34. a) menos del 40% de niños;
    b) entre 48 y 52% de niños.
     
  35. Al acto de presentación de uans oposiciones asistió el 65% de los candidatos. Si se hubiesen tomado, elegidos al azar, 81 opositores, ¿cuál es la probabilidad de que se presenten menos de 55?.

  36.  
  37. El 40% de los ciudadanos de una región se opone a la construcción de una presa. Si se pregunta a 60 personas de esa región, ¿qué probabilidad hay de que ganen los que se oponen?.

  38.  
  39. Admitamos que el 80% de la población estudiantil, mayor de 14 años, sabe jugar al ajedrez. ¿Qué probabilidad hay de que entre 400 estudiantes, elegidos al azar, más de 300 sepan jugar al ajedrez?.

  40.  
  41. Un partido politico tiene en un país un porcentaje de votos estimado en el 25%. Si se elige una muestra al azar de 100 personas, se pide calcular la probabilidad de que en la muestra exista al menos un 35% de votantes del partido político en cuestión.

  42.  
  43. En un consulta de ortodoncia se ha observado que en todos aquellos pacientes de 8 años que presentan maloclusiones dentarías, el 52% se resuelven favorablemente con ortopedia funcional. Si en un mes comienzan el tratamiento 40 niños, ¿cuál es la probabilidad de que al menos en 18 de ellos se solucione el problema?.

  44. INTERVALOS DE PROBABILIDAD: Intervalo de probabilidad para la media muestral. Intervalos de probabilidad para la proporción muestral.

  45. Con ayuda de la tabla de la normal completa la siguiente tabla (a=significación)
  46. 1-a
    Za/2
    0,6826
    1
     
    2,54
    0,7620
     
    0,5034
     
     
    1,5
     
    3

    INTERVALOS DE PROBABILIDAD PARA LA MEDIA MUESTRAL

  47. Halla los intervalos de probabilidad con una confianza de 0,9; 0,95 y 0,99; para el peso medio de una muestra de 100 recién nacidos, sabiendo que la población de recién nacidos sigue una distribución normal de media m=3.100 gramos y una desviación típica s=150. Interpreta el resultado.

  48.  
  49. A lo largo de las diferentes pruebas de selectividad se ha observado que la distribución de las calificaciones siguen una ley normal de media 5,3 puntos y desviación típica de 0,8. Calcula los intervalos de probabilidad de las muestras de tamaño 49 con una confianza de: (a) 51,6%; (b) 76,2%; (c) 90,9%

  50.  
  51. Se sabe que las acículas de cierta variedad de pino se distribuyen normalmente N(6'5,1'5). Determina los intervalos de probabilidad para la media muestral de tamaño 36, con una confianza del 0,9.

  52.  
  53. Si la estatura de las alumnas de 2º de Bachillerato se ajusta a la normal N(165, 8), en cm, halla, para las muestras de tamaño 64:

  54. a) El porcentaje de ellas que dará una media entre 163 y 167.
    b) El intervalo de probabilidad con un nivel de confianza del 80%.

    INTERVALOS DE PROBABILIDAD PARA LA PROPORCIÓN MUESTRAL

  55. Supongamos que el 25% de los jóvenes carecen de sensibilidad ecológica. Calcuala el intervalo de probabilidad al 99%, para la proporción de insensibles en muestras de tamaño 100.

  56.  

     
     

     
    ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA

    INTERVALOS DE CONFIANZA: Nivel de confianza y significación .Intervalo de confianza para la media poblacional(m). Intervalo de confinaza para la proporción poblacional(p).
    ERROR MÁXIMO ADMISIBLE Y TAMAÑO DE LA MUESTRA: Error máximo admisible para la media poblaciónal y para la proporción poblacional. Tamaño de la muestra para la media poblacional y para la proporción poblacional.
    INTRODUCIÓN AL CONTRASTE DE HIPÓTESIS: Contraste de hipótesis sobre la media poblacional. Contrate de hipótesis sobre la proporción poblacional.

     
    INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL
  1. Para una muestra de 30 alumnos se obtuvo una nota media en el último examen de matemáticas de =5,83, con una desviación típica de s=1,92. Determina el intervalo de confianza al 80%. Interpreta el enunciado.

  2.  
  3. El peso medio de una muestra de 100 recién nacidos es 3.200 g. Sabiendo que la desviación típica de los pesos de la probalción de recién nacidos es 150 gramos, halla el intervalo de confianza para la media poblacional para una significación de 0,05.

  4.  
  5. Para una muestra de tamaño 81 de alumnas de 2º de Bachillerato se obtuvo una estatura media de 167 cm. Si por trabajos anteriores se sabe que la desviación típica de la altura de la población de chicas de segundo de Bachillerato es de 8 cm, construye los intervalos de confianza para la estatura media de la población: (a) al 90% (b) al 95%

  6.  
  7. El nivel de colesterol (en mg/dl) paua una muestra de 144 personas mayores de 60 años sigue una media de =235, con desviación típica s=45. ¿Se puede admitir que la media de colesterol de la población de mayores de 60 años es de 225, con un nivel de confiaza del 96%?.

  8.  
  9. En una oposición en la que participaron miles de candidatos se hizo un examen de tipo text. La desviación típica de las calificaciónes fue s=10.

  10. a) Si se elige una muestra de tamaño 100, con media muestral 71 puntos, ¿cuál será el intervalo de confianza para la media poblacional con una probabilidad del 90%?.
    b) Ídem con n=40, =74 y a=0,05
     
  11. En una factoría automovilística se quiere conocer el número de horas perdidas por los empleados debidas a retrasos o salidas adelantadas en la jornada laboral. Para ello se realiza un muestreo entre 60 de los 800 empleados, encontrando que el número medio de horas al mes perdidas por esos motivos es de 8,3, con desviación típica 1,2. Estima el número total de horas perdidas al mes por los 800 empleados por la razones indicadas, con una confianza del 95%.

  12.  
  13. Los murciélagos, al volar, perciben los objetos emitiendo agudos chillidos y escuchando el eco. Para determinar la distancia a la que localizan los objetos se toman 32 murcielagos y se les suelta en una zona con un único obstáculo. Sabiendo que la distancia media de viraje fue de 6,5 metros, con una desviación típica de 0,5 m, determina el intervalo de confianza para la distancia de viraje ante obstáculos de la población de murciélagos, con una significación de 0,05.

  14.  
  15. Una investigación examina los gastos de consumo de una muestra de 64 familias españolas elegidas al azar. La media muestral es de 1,2 millones de pesetas y la desviación típica s=0,2. Construir el intervalo de confianza al 95% para todas las familias españolas.

  16. INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN POBLACIONAL

  17. En una muestra de 30 alumnos se le preguntó si poseían o no ordenador. Las respuestas fueron: sí, 11; no, 19. Construye el intervalo de confianza para la proporción de alumnos que poseen ordenador, con una confianza del 95,44%.

  18.  
  19. Determina el intervalo de confianza, con una significación de 0,05, para la proporción poblacional de fumadores entre los jóvenes menores de 21 años, a partir de una muestra de tamaño 900, cuando no se conocen valores de p anteriores. Considera dos casos p= y p=q=0,5. La proporcición de fumadores en la encuesta ha sido =0,30.

  20.  
  21. En 1995 un informe de uno de los grandes bandos españoles afirmaba, a pratir de una muestra de tamaño n=1.200, qu el 65% de las familias españolas tenía dificultades económicas para llegar a fin de mes. Construye el intervalo de confianza al 95% para la totalidad de las familias españolas.

  22.  
  23. En una muestra tomada al azar, de 400 personas se encontraron 85 que no tenían sensibilidad ecológica. Calcula el intervalo de confianza al 99% para la proporción de insensibles en toda la población.

  24.  
  25. Debido al gran número de aspirantes, unas oposiciones se celebran en distintas aulas a la vez. En una de esas aulas, se esperaba un total de 80 opositores; si se presentaron sólo 60 de ellos, calcula el intervalo de confianza para la proporción de presentados en su totalidad.

  26.  
  27. Una encuesta realizada a 1.100 personas da los siguientes porcentajes de voto para dos partidos de ánbito nacional: partido A, 37%; partido B 39%. Si el mismo día que se hizo la encuesta, que se supone realizada correctamente, se hubiesen celebrado elecciones, ¿resultaría estadísticamente extraño que las hubiese ganado el partido A?. Pongamos una confianza del 95%.

  28.  
  29. En las elecciones a decano de una facultad se presentaron dos candidatos: A y B. El resultado de la votación fue del 55% para A y 45% para B. Si antes de la elección se hizo una encuesta a 60 votantes, resultando 27 a favor de A y 33 a favor de B, ¿podría haberse aventurado, par a=0,1, que B ganaría las elecciones?.

  30. ERROR MÁXIMO ADMISIBLE Y TAMAÑO DE LA MUESTRA PARA LA MEDIA POBLACIONAL

  31. Para una muestra de tamaño 81 de alumnas de 2º de Bachillerato se obtuvo una estatura media de 167 cm. Si por trabajos anteriores se sabe que la desviación típica de la altura de la población de chicas de segundo de Bachillerato es de 8 cm:

  32. a) ¿Qué error máximo se admite para la media poblacional para una significación del 10%? ¿y para una confianza del 95%?.
    b) ¿Qué tamaño muestral sería necesario en cada caso si se admite un error de 1 cm?.
     
  33. Se desea realizar una investigación para estimar el peso medio de los hijos reción nacidos de madres fumadoras. Se admite un error máximo de 50 gramos, con una confianza del 95%. Si por estudios anteriores se sabe que la desviación típica del peso medio de tales recíen nacidos es de 400 gramos, ¿qué tamaño mínimo de muestra se necesita en la investigación?

  34.  
  35. En un control de calidad realizado a una empresa dedicada al envasado de guisantes congelados se ha tomado una muestra de 400 bolsas, encontrándose un contenido medio de 270 grs. y una desviación típica muestra de 8 grs.. Estima, con un nivel de confianza del 98%, el peso medio de las bolsas de guisantes comercializadas por esta empresa. Se se quisiera mejorar esta estimación reduciendo el error máximo de estimación a la mitad, ¿cuántas bolsas deberían componer la muestra?.

  36.  
  37. Para 96 familias españolas, elegidas al azar, se ha determinado que la televisión permanece encendida en la casa una media de 217 minutos diarios; la desviación típica de la muestra fue de 40 minutos.

  38. a) Para una fiabilidad del 95%, ¿qué error se asume cuando se da por bueno ese dato para la totalidad de las familias españolas?.
    b) ¿Qué tamaño muestral sería necesario para reducir ese error a la mitad?.
     
  39. Un granjero quier conocer el peso ganado por sus pollos tras un período de 15 días con una nueva alimentación. Estima el número de pollos que habrá que pesar para conocer el peso medio ganado por cada pollo, con un error máximo de 50 gramos y una confianza del 90 %, si por estudios sobre nutrición se sabe que la desviación típica del aumento de pesos es de 150 g.

  40.  
  41. En cierta población, el coeficiente de inteligencia tiene una desviación típica s=22. ¿Qué tamaño debe tener una muestra para que el intervalo de confianza de la media, al 95%, tenga un error inferior a 3 puntos?.

  42.  
  43. Se ha extraído una muestra de 145 alumnos de una excuela de arte, a los que se les ha propuesto un test de habilidad. La media y desviación típica obtenida de la muestra son 82 y 14, respectivamente. A partir de los datos, calcula el intervalo en el cuál se hallará la media de la población al nivel de confianza del 95%. ¿Con qué nivel de confianza podremos asegurar que la media poblacional se encontrará en el intervalo (79,85).

  44.  
  45. La duración media de unas bombillas sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica de 50 horas. Para estimar la duración media se experimenta con una muestra de tamaño n. Calcula el valor de n para que, con un nivel de confianza del 95%, se haya conseguido un error en la estimación inferior a 5 horas.

  46.  
  47. Sabiendo que X sigue una ley N(m,4); calcúlese el tamaño muestral mínimo para que con una confianza del 99%, el intervalo [-1'5,+1'5] contenga el parámetro m.

  48. ERROR MÁXIMO ADMISIBLE Y TAMAÑO DE LA MUESTRA PARA LA PROPORCIÓN POBLACIONAL.

  49. En una encuesta telefónica realizada a 70 familias, 15 declaran que ven determinado programa televisivo.

  50. a) ¿Cuál es la proporción en el conjunto de las familias, con una confianza de 95%?
    b) Si con la misma confianza se admite un error máximo del 2%, ¿a cuántas familias habrá que encuestar?.
     
  51. Una multinacional está estudiando la posibilidad de instalar un nuevo sistema de producción en sus empresas; antes de hacerlo decide consultar a sus trabajadores. Como no tiene ninguna referencia previa sobre la opinión de sus empleados, supone que tal opinión está dividida en dos partes iguales: 50% a favor y 50% en contra. Si desea una fiabilidad en la encuesta del 99%, con un error máximo del 4%, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra?.

  52.  
  53. ¿De qué tamaño conviene tomar la muestra de una línea de producción para tener una confianza del 95% de que la proporción estimada no difiere de la verdadera en más de un 5%?. Se sabe por estudios previos que la proporción de objetos defectuosos es del orden de 0,05.

  54.  
  55. En una muestra aleatoria de 1.000 personas, están a favor de que el Ministerio de Economía mantenga la presión fiscal el 65% de los encuestados. ¿Con qué confianza podremos asegurar que el porcentaje poblacional que está de acuerdo en mantener esta medida es del 65%, con un error mázimo de estimación del 3,87%?.

  56.  
  57. Deseas realizar una encuesta que te permita determinar, con un nivel de confianza del 95,5%, la proporción de habitantes de tu barrio que está a favor de la existencia de la OTAN, teniendo en cuenta que el error en la estimación no deberá ser superior al 10%. ¿Cuál será el tamaño muestral necesario?.

  58.  
  59. Se pretende conecer la proporción de personas solteras del país. Se establece un margen de confianza del 99% y se quiere que el error máximo sea del 3%. ¿Cuántos individurs deben componer la muestra?.

  60.  
  61. El ministerio de sanidad nos ha encargado sondear la opinión de los españoles acerca de la privatización de la Sanidad Pública. Para conocer la proporción de personas que se muestran favorables fijamos un nivel de confianza de 97% y un error máximo de estimación del 2%.

  62. a) ¿Cuántos españoles elegidos al azar deberán componerf la muestra que tomemos?.
    b) Si, una vez entrevistadas todas ellas, encontrásemos que 736 personas se muestran favorables a la privatización de la Sanidad Pública, ¿qué proporción de españoles cabe esperar que compartan su opinión?.
     
  63. La proproción de inviduos daltónicos varones de una población es "p". Se desea estimar dicha proporción a partir del porcentaje observado en una muestra de tamaño"n" que es del 30%. Calcular el tamaño de la muestra a fin de que el error cometido sea inferior al 3,1 % con una probabilidad del 90%.

  64.  
  65. Queremos estimar con un error máximo del 2% el porcentaje de audiencia televisiva del partido Real Madrid-Barcelona . Desamos una confiaza del 95% para nuestros resultados. ¿Cuántos telespectadores deberán ser encuestados?.

  66. CONTRASTE DE HIPÓTESIS SOBRE LA MEDIA POBLACIONAL (TIPO Za/2)

  67. Se quier comprobar que el peso de los paquetes de cajé puestos a la venta por cierta casa comercial es el que indica el envoltorio. Se toma una muestra de 100 paquetes y resulta un peso medio de 0,978 kg, y una desviación típica de 0,1 kilogramos. ¿Se puede afirmar con una significación de 0,05 que el peso medio de los paquetes es de 1 kg?.

  68.  
  69. Se está estudiando el absentismo laboral de los trabajadores de unos grandes almacenes. Se han elegido al azar 30 trabajadores, encontrándose que faltaron al trabajo una media de 2,3 días/mes, con desviación típica s=0,8.

  70. a) Determina el intervalo de confianza del 90% para el número de días de absentismo de los trabajadores de esa empresa.
    b) Antes de la realización de la encuesta, los representantes sindicales aseguraron que el absentismo era inferior a 2 días/mes. ¿Tenían razón?.
     
  71. La dirección de una empresa afirma que el tiempo medio dedicado al bocadillo de media mañana es de 15 minutos. Los sindicatos no creen lo mismo pues han hecho una encuesta entre 35 empleados elegidos al azar y ha resultado que el tiempo medio dedidaco al "bocata" es de 7 minutos con una desviación típica de 2 minutos. Con un nivel de significación igual a 0,05, ¿podemos creer en la afirmación de la dirección?.

  72.  
  73. Luis Enrique afirma que el precio medio de cada jugador extranjero de la liga de fútbol española es superior o igual a 650 millones de pesetas, Raúl opina lo contrario. Para dilucidar quién de ellos tiene la razón, estadísticamente hablando, deciden calcular el precio medio y la desviación típica de 30 jugadores foráneos elegidos al azar, obteniéndose las siguientes cantidades: 612 millones y 260 millones, respectivamente. A un nivel de significación del 5%, ¿cuál es la hipótesis de mayor verosimilitud?

  74.  
  75. Hace algunos años la media de estatura de los españoles adultos (varones) era de 170 cm, con s=9 cm. Pasado el tiempo, un muestreo realizado a 36 adultos da una media de 172 cm.

  76. a) ¿Podemos afirmar, con una confianza del 90%, que esa diferencia de 2 cm es debida al azar?
    b) ¿No es posible que la estatura media haya aumentado?.
    c) ¿Cambiarían las conclusiones si esa media de 172 cm se hubiese obtenido tras un muestreo de tamaño n=900?.
     
  77. La longitud media de los ejes fabricados por una compañía es de 7,05 mm. Con una desviación típica de 0,15 mm. Una muestra de 36 ejes, seleccionada como control del proceso dio una media de 6,95 mm. ¿Cabe esperar a partir de este dato que hay algún fallo en el proceso de producción?. Considere nivel de significación del 5%.

  78. CONTRASTE DE HIPÓTESIS SOBRE LA MEDIA POBLACIONAL (TIPO Za)

  79. Se sabe que los niños de 10 años con dificultades de aprendizaje obtienen, en un determinado test, una puntuación de 52 puntos, con una desviación típica de 22 puntos. Un equipo de psicólogos infantiles está ensayando unas nuevas técnicas de aprendizaje que, según ellos, aseguran adelantos importantes en los niños. Para contrastar esta hipótesis se realiza un experimento con 30 niños a los que se les aplicó las nuevas técnicas; su puntuación media en el mismo test fue de 57 puntos. ¿Para una significación de =0,05, puede afirmarse que las nuevas técnicas son mejores?.

  80.  
  81. Los psicólogos de problema anterior no se desaniman ante la confirmación de su teoría. Deciden experimentar de nuevo, realizando algunos retoques en las técnicas, ampliando el tamaño muestral a 100 niños y exigiéndose una confianza del 97,5%. Si obtienen en el mismo test una media de 56,5 puntos, ¿puede afirmarse que sus técnicas son mejores?.

  82.  
  83. La consejalía de salud de una ciudad tiene serias dudas sobre el nivel de proteínas de los ciudadanos: se sospecha que ha descendido. Tal nivel es considerado normal si vale 7,25 gramos por decilitro, con desviación típica de s=0,71. Para contrastar las dudas se realiza un muestreo con 35 personas, del que se obtiene una media de =6,85. Si se desea una confianza en los resultados del 97,5%, ¿puede asegurarse que elnivel de proteínas ha descendido?

  84.  
  85. Admitimos que el peso de los adultos de la población española se distribuye normalmente con media 65 kg y desviación típica 12 kg. Se elige una muestra, al azar, de 50 individuos naturales del norte de España, resultando un peso medio de =70 kg. Para una significación de a=0,05, ¿puede decirse que los naturales de esa región pesan más que el resto de la población?.

  86.  
  87. Una empresa fabrica cuerdas cuya resistencia media a la rotura es de 300 kg. y su desviación típica 24 kg. Una muestra de 64 cuerdas fabricadas mediante un nuevo proceso de fabricación dio una resistencia media de 310 kg. La compañía desea estudiar si efectivamente el nuevo proceso da mejores resultados que el antiguo aun nivel de significación del 5%.

  88.  
  89. Unos estudios sociológicos afirmna que el gasto medio de los jóvenes en el fin de semana se distribuye según una normal de media 825 ptas. y desvación típica 150 ptas. Se desea contrastar esta hipótesis, pues se tiene la sospecha de que los gastos medios son en la actualidad mayores. Para ello se ha elegido una muestra aleatoria formada por 55 jóvenes y se calculó el gasto medio de la muestra, que resultó de 950 pesetas. ¿Podemos afirmar que el gasto medio de los jóvenes es superior, al nivel de significación del 10%?.

  90. CONTRASTE DE HIPÓTESIS SOBRE LA PROPORCIÓN POBLACIONAL (TIPO Za/2)

  91. Supongamos que, respecto a una determinada ley, el 52% de los ciudadanos está en contra. Pasado el tiempo, una encuensta realizada a 400 personas indica que los ciudadanos en contra han descendido hasta el 49%. Para una significación de 0,05, nos planteamos:

  92. a) ¿Se admite que ha cambiado realmente la opinión pública, o tal resultado es debido al azar?.
    b) ¿Se admite que ha disminuido el procentaje de ciudadanos en contra de esa ley? (Za).
     
  93. Una asociación ecologísta se opone a la construcción de una presa aduciendo que la mayor parte de los habitantes de la zona se oponen también a su construcción. Para comprobar tal opinión se realiza un estudio preguntando a 400 cuidadanos; de ellos, están en contra de la presa 220. Para un nivel de confianza del 95%, ¿puede asegurarse que la mayoría de los habitantes de la zona se oponen a la construcción de la presa?.

  94.  
  95. En una ciudad se desconoce el porcentaje de alumnos de cuarto de ESO que elegirán la modalidad de Bachillerato de Humanidades o de Ciencias Sociales. Por tal motivo, se hará una encuesta a 81 escolares, elegidos entre varios centros educativos. Cincuenta de ellos afirman que desean estudiar alguno de los dos Bachilleratos indicados. Si en los años anteriores el porcentaje de alumnos que elgían éstos Bachilleratos era del 46% ¿puede afirmarse, con una confianza del 95% que las intenciones de los alumnos han variado?.

  96.  
  97. Raquel le dice a Gazmira que al menos un 15% de los alumnos del Instituto tene moto. Gazmira realiza una encuesta aleatoria entre 200 estudiantes del Centro y encuentra que 17 de ellos tienen moto. Con un nivel de significación del 10% ¿quién de los dos tiene razón, estadísticamente hablando?. ¿La hipótesis que defiende Gazmira es la nula o la alternativa?.

  98.  
  99. Después de una huelga entre el funcionariado, los sindicatos convocantes afirman que el procentaje de trabajadores que acudieron a su labor fue inferior o igual al 3%. Se ha preguntado a 30 funcionarios, elegidos al azar, y se ha obtenido que 24 de ellos se pusieron en huelga. ¿Proporciona la muestra suficiente evidencia para rechazar la hipótesis sindical, a un nivel de significación del 5%?.

  100.  
  101. Un laboratorio de farmacia afirma que un producto que elabora es efectivo para aliviar una cierta molestia en el 90% de los casos en 12 horas. Ese medicamento recetado a una muestra aleatoria de 300 personas enfermas dio buen resultado, al cabo de 12 horas, en 240 casos. Se puede afirmar a nivel de significación 0,1 que la afirmación del laboratorio es correcta?.

  102.  
  103. El Ayuntamiento de S/C de Tenerife afirma que el 65% de los accidentes juveniles de los fines de semana son debidos al alcohol. Un investigador decide contrastar dicha hipótesis, para lo cual toma una muestra formada por 35 accidentes y observa que 24 de ellos han sido debidos al alcohol. ¿Qué podemos decir sobre la afirmación del Ayuntamiento

  104. CONTRASTE DE HIPÓTESIS SOBRE LA PROPORCIÓN  POBLACIONAL (TIPO Za)

  105. La cuota de pantalla (share medio) de una cadena de televisión está en el 27%. Tras una campaña publicitaria para promocionar la cadena, se realiza una encuesta entre 800 televidentes, obteniéndose una cuota de pantalla del 30%. ¿Puede asegurarse, con una significación de 0,05, que la campaña publicitaria ha dado resultado?.