LUGARES GEOMÉTRICOS

TRANSFORMACIONES 2

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LUGARES GEOMETRICOS 2

Actividad 1: Bisectriz de un ángulo

Construir un lugar geométrico. Activar y desactivar traza. Regenerar una figura. Cambiar las opciones para lugares geométricos. Aumentos y disminución de los objetos que forman el lugar.

Actividad 2: Construcción de la Elipse usando el método del jardinero

Utilizar la herramienta compás del menú construir. Construir una cónica. Expresar las ecuaciones de una cónica. Cambiar las preferencias al mostrar las ecuaciones.

Actividad 3: Construcción de la Parábola

 

 

 

 

 

Actividad 1: Bisectriz de un ángulo.

Sabemos que la bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados del ángulo.

Vamos a realizar una construcción con Cabri que explique cómo construir la bisectriz de un ángulo, como muestra el siguiente applet:

 

 

Usted podría realizar la figura sin seguir los siguientes pasos, pero es recomendable que vea como se activa la traza de un punto y los efectos de animación.

Crearemos la figura bisectriz.fig.

1. Construir un ángulo cualquiera, para ello utilizar la herramienta rectas/Semirectas para crear los lados del triángulo (el punto de partida de las semirectas será el vértice del triángulo).

2. Vamos a buscar un punto P perteneciente a la bisectriz del ángulo:

a. Elegir un punto arbitrario X sobre uno de los lados del triángulo (utilizar Puntos/Punto sobre objeto y etiquetar el punto).

b. Trazar la circunferencia de centro el vértice del ángulo y que pase por el punto X. Esta circunferencia corta al otro lado del ángulo en el punto Y (utilizar Puntos/Punto(s) intersección y etiquetar el punto).

c. Trazar las rectas tangentes a la circunferencia por los puntos X e Y (rectas perpendiculares a los lados por los puntos X e Y). Estas rectas se cortan en un punto, etiquetarlo como P.
Este punto equidista de los lados del ángulo ¿Por qué?. Vamos a comprobarlo numéricamente con Cabri:

c1. Calcular las distancias PX y PY (utilizar medir/Distancia y longitud).

c2. Escribir un comentario delante de cada número d(P,X)=, d(P,Y)= (utilizar Ver/Comentarios). Luego arrastra los números (utilizar Puntero) al extremo superior derecho de la ventana de edición para ver mejor la figura (al principio se resiste al arrastre hasta que cede).

d. Si arrastramos el punto X (arbitrario en la construcción) obtenemos los diferentes puntos de la bisectriz al moverse P. Vamos a activar la traza al punto P para que cuando este se traslade deje un rastro, construyendo así la bisectriz:

d1. Seleccionar la herramienta ver/Traza Activada-Desactivada. A partir de ahora los elementos que se señalen dejarán rastro cuando se trasladen; activar la traza del punto P haciendo clic sobre el mismo (el punto parpadea).

d2. Arrastrar utilizando la herramienta puntero el punto X, y observar como el punto P deja rastro (además puedes observar la equidistancia de P a los lados del triángulo -ver distancias numéricas a la derecha).

d3. Borrar el rastro utilizando la opción regenerar dibujo (archivo/Regenerar dibujo -vuelve a dibujar todos los objetos de la construcción- Ctrol+F, se suprimen los pixels dibujados con la traza).

d4. Utilizar la herramienta ver/Animación (desplaza automáticamente un objeto independiente por una trayectoria determinada) para mover automáticamente el punto P. Hacer clic sobre P y arrastrar el ratón en la dirección del lado y sentido del vértice -para que el punto se mueva en sentido contrario-, aparecerá un resorte (la longitud del resorte indica la velocidad del movimiento).Si se quiere aumentar o disminuir la velocidad del movimiento pulsar las teclas + ó - respectivamente. Para parar la animación hacer clic en cualquier lugar de la ventana de edición.

Para volver al punto de partida seleccionar deshacer la última acción (archivo/Deshacer Ctrol+Z).

d5. Quitar la traza del punto P. Para ello seleccionar la herramienta ver/Traza Activada-Desactivada y pulsar sobre el punto P.

3. Construir el lugar geométrico descrito por el punto P cuando el punto arbitrario X se desplaza a lo lardo del lado del triángulo. Obtendremos así la bisectriz, para ello seleccionar la herramienta construir/Lugar geométrico, señalar el punto P (objeto que describe el lugar) y luego el punto X (que se mueve a lo largo del lado). Queda dibujada la bisectriz como un objeto. Observa que si mueves el lado del ángulo también se mueve la bisectriz.

Lo que hace Cabri es dibujar el objeto que se selecciona en primer lugar 50 veces, de forma equidistante, al variar el punto que se seleccione en segundo lugar que normalmente está ligado a una trayectoria (en nuestro caso el punto P se dibuja 50 veces según el movimiento del punto X a lo largo del lado). Si el objeto que genera el lugar son puntos, éstos se conectan por segmentos (puntos de enlace). Si se trata de rectas se genera la envolvente. Estas opciones se pueden cambiar usando el punto de menú opciones/Preferencias

Puedes realizar pruebas, borrando el lugar dibujado y en Preferencias, deseleccionar los puntos de enlace y luego volver a dibujar la bisectriz. Observa cómo no se enlazan los puntos y que sólo se dibujan 50 puntos del lugar.

Vuelve a poner las opciones como al principio y crea nuevamente la bisectriz.

        4. Guardar el fichero con el nombre bisectriz.fig.

 

    Ejercicios:

1. ¿Cuál es el lugar geométrico descrito el baricentro de un triángulo cuando uno de sus vértices se desplaza por la circunferencia circunscrita?. (Llamar a la construcción lugar_baricentro.fig).

2. ¿Cuál es el lugar geométrico descrito el incentro de un triángulo cuando uno de sus vértices se desplaza por la circunferencia circunscrita?. (Llamar a la construcción lugar_incentro.fig).

3. ¿Cuál es el lugar geométrico descrito el ortocentro de un triángulo cuando uno de sus vértices se desplaza por la circunferencia circunscrita?. (Llamar a la construcción lugar_ortocentro.fig).

4. Hallar el lugar geométrico descrito por el punto medio de una cuerda de una circunferencia cuando uno de sus extremos recorre la misma.

5. Sea ABC un triángulo de forma que C sea el centro de una circunferencia que pasa por A y B. Hallar el lugar geométrico descrito por el incentro del triángulo.

6. Sea Q un punto exterior a una circunferencia. Hallar el lugar geométrico descrito por los pies (P) de las perpendiculares a la tangentes a la circunferencia que pasan por Q. Dicho lugar geométrico se llama Caracol de Pascal.

    a. Dibuja una circunferencia y un punto exterior a la misma, etiqueta el punto por Q.

    b. Dibuja un punto (R) sobre la circunferencia y el radio que une dicho punto con el centro.

    c. Halla la recta tangente a la circunferencia por R. Para ello dibuja la perpendicular al radio por R. Si arrastramos el punto R obtendremos el conjunto de todas las tangentes a la circunferencia.

    d. Dibujemos la perpendicular a la tangente por el punto Q. Las dos rectas se cortan en el punto P.

    e. Activar la traza del punto P, luego arrastrar el punto R y observar la gráfica que se obtiene. Regenera el dibujo para borrar la traza y desactivar la traza del punto P.

    f.  Construir la el Caracol de Pascal. Para ello utilizar construir/Lugar geométrico y luego hacer clic sobre el punto P, y luego sobre el punto R. Si arrastramos el punto Q vemos como cambia el lugar (ver qué ocurre si el punto Q, está sobre la circunferencia, interior a ella o si es el centro).

    g. Guarda la construcción como caracol.fig.

 

    Actividad 2: Construcción de la Elipse usando el método del jardinero.

Sabemos que la elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos (F, F') es constanta (2·a) e igual al semieje mayor.

Vamos a realizar una construcción con Cabri que explique cómo crear elipse, como muestra el siguiente applet, puede intentar realizar directamente la construcción o bien seguir los pasos que se indican a continuación:

 

1. Definir un segmento (A'A) que represente al eje mayor de la elipse.

2. Hallar el punto medio del segmento A'A (0), que será el centro de la elipse. Definir el segmento A'O y fijar un punto sobre dicho segmento (etiquetarlo con F') (como hay dos segmentos aparece una ambigüedad, elegir el segundo -siempre se ordenan según su construcción-). Dicho punto será uno de los focos, como no dan restricciones lo tomamos de forma arbitraria. Hallar el simétrico (simetría central) respecto al centro de F' obteniendo el otro foco F.

3. Definamos el segmento F'F y situemos un punto arbitrario (P) sobre él. Por la construcción sabemos que A'P+PA=A'A (eje mayor).

4. Construyamos dos circunferencias:
    a. Centrada en F' y radio A'P (utilizar construir/Compás picar sobre A', P (radio) y luego sobre F').
    b. Centrada en F y radio PA (utilizar construir/Compás picar sobre P, A (radio) y luego sobre F).

5. Los puntos de intersección de dichas circunferencias pertenecen a la elipse ¿por qué?. Construir dichos puntos utilizando puntos/Punto (s) intersección y hacer clic sobre las dos circunferencias.

6. Activar la traza del punto de intersección, luego arrastrar el punto P y observar la gráfica de la elipse. Regenera el dibujo para borrar la traza y desactivar la traza del punto P.

7. Construir la elipse.  Para mejorar la representación seleccionamos  opciones/Preferencias...  opciones para los lugares y cambiar el número de objetos de 50 a 1000, en Aplicar a  elegir Nuevos objetos y pulsar Aceptar.

Crear la elipse, para ello utilizar construir/Lugar geométrico y picar sobre uno de los puntos de intersección y luego sobre el punto P. Se construye la parte superior de la elipse.

Proceder de forma análoga para construir la parte inferior.

8. Guardar la figura con el nombre elipse.fig.

9. Vamos a obtener la ecuación de la elipse utilizando Cabri. Mostrar los ejes de coordenadas (dibujo/Mostrar ejes) y definir las cuadrículas (dibujo/Definir cuadrícula) para centrar el estudio. Arrastrando el eje mayor de la elipse (segmento A'A), procura hacer coincidir el centro de la elipse con el origen de coordenadas.

a. Para obtener la ecuación del lugar geométrico, utilizaremos la herramienta Ecuaciones y coordenadas. Por ello tendremos que definir la elipse utilizando la opción curvas/Cónica (crea una parábola, hipérbola o elipse definida por cinco puntos) y hacer clic sobre cinco puntos del lugar geométrico; de esta forma tenemos el objeto elipse definido.

b. Utilizar la herramienta medir/Ecuación y coordenadas y hacer clic sobre la elipse, obtendremos la ecuación de la misma que variará si variamos el foco o el eje mayor. (Seleccionando la ecuación del lugar y pulsando TAB cambiamos la misma entre ecuación general o canónica).

    También se puede cambiar la forma de las ecuaciones utilizando el punto de menú opciones/Preferencias, seleccionando Sistema de coordenadas y ecuaciones. En esta plantilla además se puede cambiar el sistema de referencia utilizado (Cartesiano y polares -radianes, grados sexagesimales y grados centesimales).  

11. Quitar la cuadrícula, para ello con la herramienta puntero, seleccionar un punto de la parrilla y pulsar Supr.

12. Ocultar los ejes (dibujo/Ocultar ejes) y suprimir la ecuación de la elipse (seleccionarla y suprimir). Guardar la figura.

 

Ejercicio:

a. Calcular la excentricidad de la elipse (e=c/a). ¿Qué relación existe entre la excentricidad y la forma de la elipse?.

1. Medir la distancia OF', etiquetarla con c (semieje focal). Arrastrar el número y colocarlo en la parte inferior derecha.

2. Medir la distancia OA', etiquetarlo con a (semieje mayor). Arrastrar el número y colocarlo en la parte inferior derecha.

3. Utilizando la calculadora llevar los valores anteriores para calcular e=c/a. Llevar el resultado a la ventana de diseño y etiquetarlo con e=.

4. Si arrastramos el punto F' vemos como cambia el valor de la excentricidad.

b. Calcular el semieje menor (b) a partir del semieje focal (c) y del semieje mayor (a).

1. Sabemos que se satisface la relación . Utilizando la calculadora y la función sqrt(a^2-c^2), calcular el valor de b.

2.  Arrastrar el valor sobre la ventana de diseño.

 

    Actividad 3: Construcción de la Parábola.

Sabemos que la parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco (F) y de una recta llamada directriz (r).

Vamos a realizar una construcción con Cabri que explique cómo crear la parábola, lo muestra el siguiente applet, puede intentar realizar directamente la construcción o bien seguir los pasos que se indican a continuación:

1. Construir una recta que será la directriz (d) de la parábola. Etiquetar la recta con d.

2. Fijar un punto en el plano que represente al foco (F de la parábola.

3. Dibujar el eje de la parábola, recta perpendicular al la directriz que contenga al foco.

4. Hallar el vértice (V) de la parábola. Punto medio entre el foco y la intersección de la directriz y el eje (N).

5. Situar un punto M sobre la semirecta VF (definir previamente la semirecta), y trazar la paralela por dicho punto a la directriz.

6. Construir la circunferencia centrada en el foco y de radio la distancia entre el punto M y la directriz (utilizar compás, picar en M y en N -radio- y finalmente en F -centro-).

7. Las intersecciones entre la paralela y la circunferencia son puntos de la parábola ¿por qué?. Activar la traza de los puntos de intersección, luego arrastrar el punto M y observar la gráfica de la parábola. Regenera el dibujo para borrar la traza y desactivar la traza de los puntos de intersección.

 

8. Construir la parábola.  Para mejorar la representación seleccionamos  opciones/Preferencias...  opciones para los lugares y cambiar el número de objetos de 50 a 1000, en Aplicar a  elegir Nuevos objetos y pulsar Aceptar.

Crear la parábola, para ello utilizar construir/Lugar geométrico y picar sobre uno de los puntos de intersección (los que definen la parábola) y luego sobre el punto M. Se construye una rama de la parábola.

Proceder de forma análoga para construir la otra rama.

Ocultar la circunferencia y la recta auxiliar para que se visualice mejor el dibujo.

 

9. Guardar la figura con el nombre parabola.fig.

El foco lo podemos variar cambiando la parábola.

La directriz se puede variar arrastrando la recta (cambiamos su dirección) moviendo el punto que la define (nos trasladamos paralelamente).

10. Vamos a ver la ecuación de la parábola utilizando Cabri. Mostrar los ejes de coordenadas (dibujo/Mostrar ejes) y definir las cuadrículas (dibujo/Definir cuadrícula) para centrar el estudio .

a. Directamente, como lugar geométrico no podemos usar la herramienta Ecuaciones y coordenadas. Por ello tendremos que definir la parábola utilizando la opción curvas/Cónica (crea una parábola, hipérbola o elipse definida por cinco puntos) y hacer clic sobre cinco puntos del lugar geométrico; de esta forma tenemos el objeto parábola definido.

b. Utilizar la herramienta medir/Ecuación y coordenadas y hacer clic sobre la parábola, obtendremos la ecuación de la misma que variará si variamos el foco o la directriz.

 

 

 

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