1. DEFINICIÓN

  2. ELEMENTOS INVARIANTES

  3. COMPOSICIÓN DE SIMETRÍAS

 

 

 

 

 

 

 

    1. DEFINICIÓN: La simetría central de centro o de un punto P es otro punto P' verificando:
        a. El punto o (centro) equidista de los puntos P y P'.
        b. Los puntos o, P y P' están alineados.

    Estas dos condiciones son equivalentes a decir que el centro o es el punto medio del segmento PP'.

    Al punto P' se llama homólogo de P.

    La simetría central de centro o es equivalente a un giro de centro o y de amplitud 180º.

    En la figura se muestra la simetría central  de centro o. 

    Applet1:"Definición de simetría central"

    * Varía el punto P para ver como varía su homólogo P' (observa que siempre P y P' equidistan del centro o).
    * También puedes variar el centro de giro.


    La simetría de una figura F, de centro o, es otra figura F' que resulta de obtener la simetría central de cada uno de los puntos de F. En la figura que se muestra el giro de una figura llamada Hueso (usada en algunos mosaicos de la Alhambra de Granada). 

    Applet2:"Definición de simetría central de una figura"

    * Arrastra el segmento AB para cambiar la posición de la figura F.
    * Varía el punto P para ver como varía su homólogo P' (observa que siempre P y P' equidistan del centro o).
    * También puedes modificar el tamaño y forma del Hueso arrastrando los puntos A ó B.
    * Se puede variar el centro de giro (arrastrando O).

    Si deseas saber cómo construir El Hueso pulsa aquí.

 

    Ejercicios:

    1. Dibuja el rectángulo simétrico del dado respecto al punto O:

    2. En la figura aparece una figura y su simétrica respecto al punto O, ¿dónde se encuentra dicho punto?

 

    3. Dibuja un triángulo ABC rectángulo en A, cuyos catetos midan tres y cuatro unidades. Halla su simétrico tomando como centro: a) El vértice A    b) El vértice B    c) El vértice C.

 

    Applet3: "Coordenadas de una simetría respecto al origen de coordenadas"

    4. Observa el applet de la figura. Un triángulo y su simétrico respecto al origen de coordenadas. Observa las coordenadas de sus vértices A, B, C y las coordenadas de sus transformados A', B' y C' (puedes arrastrar los puntos A, B, C y ver cómo se transforman sus nuevas coordenadas). Puedes mover el triángulo y el punto P y observar el triángulo simétrico y el punto homólogo P'.
 ¿Si un punto P tiene de coordenadas P(x,y), cuales son las coordenadas de su simétrico P', respecto al origen de coordenadas?.

¿El ángulo ABC tiene la misma orientación que el ángulo A'B'C'?

    5. Construye el triángulo A(2,1), B(5,1) y C(5,3). Dibuja su simétrico respecto del origen de coordenadas A'B'C' y calcula las coordenadas de A', B' y C'.

    Applet4: "Coordenadas de una simetría respecto un punto O(a,b)"

    6. Coordenadas en una simetría cuyo centro no sea el origen:
    Encuentra las coordenadas de los trasformados de los vértices del cuadrilátero de la figura mediante una simetría de centro 0'(2,1). Observa la siguiente propiedad "Sea P(x,y) y su homólogo P'(x',y') respecto de una simetría central de centro O'(a,b) entonces x'=-x+2·a; y'=-y+2·b". En el caso del vértice A(6,1), A'(x',y'); x'=-6+2·2=-2  y'=-1+2·1=1 => A'(-2,1).
Comprueba utilizando el applet que esta propiedad se verifica, variando el centro y el punto P (también puedes variar los vértices del cuatrilátero).

    ¿Cuales son las coordenadas del punto simétrico al (3,3) respecto al centro o'(4,1).

 

    2. ELEMENTOS INVARIANTES: Objeto que una vez realizada la simetría central no cambia de posición. Cuando un elemento invariante es un punto se dice que es un punto doble. A una figura invariante respecto a un simetría central de centro o se dice que es simétrica respecto al punto o, y que o es su centro de simetría.

    1. ¿Qué punto es doble en cualquier simetría central?.

    2. ¿Dónde debe estar el centro de simetría para que una circunferencia sea figura invariante? ¿y para una recta?.
    La circunferencia es ... ... ... ... ... ... respecto al ... ... ... .
    La recta es ... ... ... ... ... ... respecto a cualquier punto que esté sobre la ... .... ... ... ...

 

    EJERCICIO:

    7. Indicar las figuras simétricas respecto al punto O.

 

    8. Busca en tu entorno figuras geométricas que tengan simetría central.