Órbitas de Proyectiles y Satélites

¿Qué trayectoria sigue el cuerpo al aumentar su velocidad de lanzamiento?

¿Cuál es la velocidad de escape?




Author: GFu-Kwun Hwang

Diseño Web, Adaptación didáctica y Actividades:  Grupo Lentiscal


Funcionamiento del Applet


  1. Este applet de java permite cambiar la velocidad de lanzamiento con un clic del ratón: clic + para aumentar la velocidad de lanzamiento,  clic  - para disminuirla  

  2. Pulse  Start para disparar  el proyectil.

  3. Pulse Reset para cambiar los parámetros y regresar a los valores por defecto.

  4. La flecha roja representa el vector velocidad. Haga clic con el botón izquierdo del ratón cerca de la punta de la flecha y arrastre el ratón para cambiar la velocidad.

  5. Haga clic con el botón derecho del ratón para parar la animación, pulse de nuevo para continuar.

  6. Ponga a funcionar el applet para familiarizarse con el mismo. Pulse "start" y vaya aumentando poco a poco la velocidad de lanzamiento.

    ¿Cuando comenzara el proyectil a  girar alrededor de la Tierra sin caer al suelo?  ¿Cuando comenzara el proyectil a girar alrededor de la Tierra con un movimiento circular?

  7. Pruebe hacer clic en pantalla completa o pulse F11. Realice las experiencia necesarias  y encuentre lo que ocurre. ¡Qué disfrutes!


Actividades

 

Actividad 1 : Si lanzamos el proyectil desde el polo norte  que punto de la Tierra es el más lejano en el que puede golpear el proyectil sobre la Tierra. Cuál será la velocidad de lanzamiento necesaria para ello?

Compruébalo mediante el applet

[Solución A.1]

Actividad 2: Un satélite se mueve con una velocidad de módulo constante, en una órbita circular alrededor del centro de la Tierra y próxima a su superficie. Su aceleración tiene de modulo 9,80 m/s2. ¿Cuál es el módulo de su velocidad y cuánto tiempo tarda en dar una revolución completa?

Comprueba el resultado con el applet

[Solución A.2]

Actividad 3: Deduce la expresión matemática y obtén el valor correspondiente para la velocidad de escape de un cuerpo lanzado desde la superficie de la Tierra y desde un altura h de la misma.

[Solución A 3]

 Actividad 4: Si el radio de la Tierra es de 6370 km, deduce desde que altura se lanza en la experiencia virtual que se simula en  el applet el proyectil. Calcula en dicho punto la aceleración de la gravedad

[Solución A 4]

Actividad 5: Desde una altura de 1000 km sobre la superficie de la Tierra, se lanza un cuerpo con una cierta velocidad vo, tal como se indica en la figura.

Calcular para qué valores de la velocidad el cuerpo queda en órbita alrededor de la Tierra y para quñe valores escapará de la atracción terrestre. Considerar en todos los casos que la órbita es circular y que RT =6.500 Km .

 

[Solución A 5]

Actividad 6: Lanza proyectiles con las siguientes velocidades que se recogen en la tabla obtén para las mismas el periodo de revolución, compruébalo con el applet y describe y justifica lo observado en las experiencias virtuales realizadas mediante el applet.

Resume las posibles trayectorias u órbitas que seguirá el proyectil o satélite lanzado en función de la velocidad inicial de lanzamiento

Velocidad (m/s) Periodo (s) Descripción
1.581    
1.700    
2.000    
3.000    
6.000    
8-000    
11.000    
11.500    
12.000    

[Solución A 6]

Actividad 7 Lee el siguiente texto del físico Paul Hewitt, coméntalo y calcula  la velocidad adecuada

Newton explico el movimiento de los planetas y satélites con las mismas leyes que el movimiento de los proyectiles. De esta forma unifico el movimiento celeste con el movimiento terrestre. Unió así los cielos con la Tierra

Si lanzas una piedra con la rapidez adecuada en la dirección horizontal, su trayectoria coincidirá  con la curvatura de la superficie de la Tierra. Si no hay resistencia del aire, la piedra se convertirá en un satélite terrestre! ¿Cuál debe ser esa velocidad?  [Paul Hewitt]

[Solución A.7]

Traducir y comentar:

"Newton had observed that any projectile launched horizontally is, in a sense, an Earth satellite.
A rock thrown from a tall building sails in a modest orbit that soon intersects the earth not far from its point of launch.
If the ball were fired more swiftly to start with, it would travel further. Further increasing the speed would result in ever larger, rounder elliptical paths and more distant impact point. Finally, at one particular launch speed, the ball would glide out just above the planet's surface all the way around to the other side without ever striking the ground.
At successively greater launch speeds, the ball would resolve in ever-increasing elliptical orbit until it moved so fast initially that it sailed off in an open parabolic or (if even faster) into a still flatter, hyperbolic orbit, never to come back to its starting point."

 


Soluciones a la Actividades

[Solución A.1]

Llegara exactamente al Polo Sur al punto G en el dibujo de Newton, extraído de los Principia

 

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[Solución A.2]

v2= r·g; v= 7,90·103 m/s = 2,75·104 km/h; T= 1,45 h = 87,0 minutos= 5220 s


 

 

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[Solución A 3]

Comprobar que para que escape la energía total debe se cómo mínimo nula; para ello el proyectil debe ser lanzado con una velocidad mínima tal, que su energía cinética inicial sea igual a la potencial

A una altura h de la superficie terrestre: r =R+h. Y análogamente se cumplirá que:

 

 

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[Solución A 4]

 

 

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[Solución A 5]

[Solución: Si vo > 10,313 km/s, el cuerpo escapa; en caso contrario queda atrapado]

 

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[Solución A 6]  y [Solución A7]

velocidad inicial vo Energía Órbita
vo < vc E < 0 elíptica incompleta
vo = vc circunferencia
vc < vo < ve elipse
vo = ve

E ³ 0

 

parábola
 vo > ve hipérbola

 

 

         En la superficie terrestre vc = 7,94 km/s

En definitiva si se lanza a unos 8 Km/s (7,94 km/s) unas 29.000 Km/h seguiría la curvatura de la Tierra, sería su velocidad orbital para un objeto en órbita baja alrededor de la Tierra. A esta velocidad un proyectil se calcinaría por la fricción con la atmósfera. Por eso los satélites deben permanecer a 150 km o más arriba de la superficie terrestre para evitar la fricción con la atmósfera. 

El eje mayor de la elipse se hará infinito y el satélite escapa de la atracción gravitatoria

 ³ 11,2 km/s (para la superficie terrestre)  En las orbitas parabólicas la velocidad total del satélite es cero y el satélite sería capaz de llegar al infinito con velocidad nula.

el satélite describe una órbita hiperbólica, donde el proyectil llegaría, teóricamente al infinito con una velocidad mayor que cero.

Lo que se recoge en la tabla anterior.