Cuando se comienza a enseñar matemáticas,
quizás no se clasifica el concepto de número negativo como uno de los más difíciles de
hacer adquirir a los alumnos. Vienen a la mente representaciones muy elementales de la
vida corriente: las temperaturas, las ganancias y las pérdidas. Ocurre sin embargo que
hay una cantidad no despreciable de artículos pedagógicos consagrados a este tema, y
aunque el interés de los pedagogos no es necesariamente proporcional a la dificultad de
la noción, ello no quita que esto sea síntoma de una cierta dificultad. No se tarda en
descubrir que, junto a la referencia concreta, el cálculo con negativos plantea problemas
a muchos alumnos, y que el sentido mismo de lo que es un número negativo abstracto queda
oscuro; entonces se ensayan diversos recorridos hacia los negativos, inspirados en los
artículos citados, sin resolver de hecho todas las dificultades: en particular, el uso
del mismo símbolo "-" para designar el opuesto y el operador de las
sustracción, la justificación de la regla de los signos para la multiplicación, el
hecho de que la letra "a", por ejemplo, pueda designar un negativo, a pesar de
que no hay signo, el hecho de que –5 sea inferior a 2, ¿una deuda de 5 euros sería
más pequeña que una ganancia de 2 euros? E intuimos aquí el hecho de que, quizás, la
referencia concreta, lejos de ser una ayuda se puede convertir en un obstáculo.
Por lo tanto proponemos una reflexión más
sobre los negativos, ante todo histórica, que tal vez aclarará las dificultades y los
errores de nuestros alumnos, y permitirá también comprender que los conceptos, incluso
los más simples en apariencia, son el resultado de siglos de titubeos, cuya huella
conservan, que son comprendidos cuando todo llega a ser transparente. Y esperamos que la
reflexión alimentará la reflexión.
Algunos
elementos de la historia de los números negativos
Estas ideas son muy elementales; sin
embargo, no es fácil que lo parezcan así antes de establecerlas de manera clara y de
darles la generalidad que demanda su aplicación al cálculo. No se puede dudar de la
dificultad del tema, si se piensa que las ciencias exactas habían sido cultivadas durante
muchos siglos y habían hecho grandes progresos antes de que se adquirieran las verdaderas
nociones de cantidades negativas, y que se hubiese concebido la manera general de usarlas.
Argand, Ensayo sobre una forma de
representar las cantidades imaginarias en las construcciones geométricas, 1806.
La introducción conceptual de los números
negativos ha sido un proceso de una lentitud sorprendente. No puede haber, ciertamente,
número negativo sin la presencia de un cero; sin embargo, en Europa, los matemáticos
dispusieron del cero desde el siglo XIV, y será preciso esperar hasta el final del siglo
XV para ver aparecer entes numéricos no positivos, que sin embargo no serán
completamente aceptados como números. Las reglas de uso se establecieron rápidamente y
los matemáticos manipularon los números relativos, pero tenían un comprensión muy
parcial de ellos, con asombrosas lagunas. Se les niega la existencia como cantidades
reales. Serán durante mucho tiempo un útil de cálculo que facilitaba la resolución de
ecuaciones, de las cuales, por otra parte, sólo se consideraba las soluciones positivas.
Varios obstáculos pueden explicar esta
dificultad de reconocimiento: El más evidente de estos obstáculos es el cero absoluto,
por debajo del cual no hay nada. Esta dificultad es especialmente señalada por el
matemático francés Lazare Carnot (1753 – 1823), miembro de la Academia de Ciencias
y renombrado matemático:
"Para obtener realmente una
cantidad negativa aislada, sería necesario restar una cantidad efectiva de cero, quitar
algo de nada: operación imposible. ¿Cómo concebir pues una cantidad negativa
aislada?"
Geometría de Posición, 1803
Un autor de manuales de matemáticas del
siglo XIX, F. Busset, asociará el fracaso de la enseñanza de las matemáticas en Francia
con la admisión de cantidades negativas. Ofendido porque se ponía en duda su
conocimiento sobre la existencia "de cantidades más pequeñas que nada",
expresa que eso es "el colmo de la aberración de la razón humana". Existe una
especie de impedimento para manejar el cero origen, junto al cero absoluto.
En los textos precedentes se ha podido
notar que no se habla de números negativos, sino de cantidades. Los números no pueden
ser sino positivos; son las cantidades las que pueden ser negativas o positivas. Una
cantidad negativa se define por oposición a una positiva: un camino en una dirección,
otro en dirección contraria; una ganancia, una pérdida. Proponemos estudiar aquí el
lento nacimiento de las cantidades negativas, y los obstáculos que fue preciso franquear
para alcanzar la noción abstracta de número negativo.
I Utilización de los números negativos en
matemáticas:
Es común estimar que la noción de número
negativo nació de necesidades contables (ganancias y pérdidas). Parece que los chinos
utilizaron desde el primer siglo de nuestra era los "números negativos". En las
tablas de cálculo, a menudo son representados por varillas negras; las varillas rojas
representan a los positivos. Sin embargo, aparecen solamente como auxiliares de cálculo;
no hay números negativos en los enunciados de los problemas, tampoco los hay en las
respuestas. Aparecen también en los matemáticos indios de los siglos VI y VII; por
ejemplo, los encontramos en los escritos de Bramagupta (siglo VII). Este matemático
enseña la manera de hacer sumas, restas, etc, usando bienes, deudas, la nada.
"Una deuda restada de la nada se
convierte en un bien, un bien restado de la nada se convierte en una deuda".
Las reglas de cálculo están dadas, pero
nadie se preocupa de justificarlas. Los "números negativos" van a parecer así
en el cálculo, y los matemáticos se permitirán a lo largo de la historia practicar cada
vez mejor las operaciones, aunque las reglas no estén claramente establecidas. Los
números negativos aparecen en Occidente a finales del siglo XV, relacionados con la
resolución de ecuaciones, por ejemplo, en los escritos del matemático italiano Cardano
(1501 – 1576).
Cardano es de nuevo el primero en
percibir la multiplicidad de los valores de la incógnita en las ecuaciones, y su
distinción en positivas y negativas. Este descubrimiento que, junto con otro de Vieta, es
el fundamento de todos los de Harriot y Descartes sobre el análisis de ecuaciones, este
descubrimiento, digo, está claramente contenido en su Ars Magna. A partir del artículo
tercero observa que las raíces de un cuadrado son igualmente más y menos el lado del
cuadrado, y en el artículo 7 propone una ecuación que, reducida a nuestro lenguaje,
sería x² + 4x = 21, y subraya que el valor de x es igualmente +3 o –7, y que
cambiando el signo del segundo miembro, el valor se convierte en –3 o 7. Estas
raíces negativas las llama falsas. Cardano reparará con esto el error de Pacioli, quien
no habiendo mencionado estas raíces negativas, parece no haberlas observado.
J. F. Montucla, Historia de las Matemáticas
Sin embargo en la misma época, otros
matemáticos, como el francésVieta, no darán sino las soluciones positivas de las
ecuaciones. Las reglas de cálculo se construyen como prolongación de las reglas para los
positivos, y a lo largo de la historia los matemáticos practicaron cada vez mejor sus
cálculos, pero con una cierta incomodidad, pues se trata, a menudo, de reglas de cálculo
referidas a cantidades o magnitudes que se añaden o se quitan, y no de números positivos
o negativos. Cardano expresa así sus dudas:
"Es un sencillo consejo no
confundir las cantidades defectuosas (ausentes) con las cantidades abundantes. Es preciso
añadir entre sí las cantidades abundantes, añadir también entre sí las cantidades
defectuosas, y restar las cantidades defectuosas de las abundantes, pero teniendo en
cuenta las especies, es decir, no operar más que con semejantes; combinar los números
entre sí, lo mismo con los cuadrados, e incluso con los cubos, etc...".
Ars Magna, 1545
Uno se imagina un libro de cuentas en el
cual se escribe en una columna los gastos , en otra los ingresos, cuidando sobre todo no
mezclarlos. Claireaut (1713 – 1765) da sus reglas en sus "Elementos de
Álgebra" de 1746:
"Se preguntará quizás si se puede
sumar negativo con positivo, o más bien, si se puede decir que se suma algo negativo. A
lo que yo respondo que esa expresión es exacta cuando no se confunde sumar con aumentar.
Que dos personas, por ejemplo, sumen sus fortunas, cualesquiera que sean estas, yo diría
que esto significa sumar sus bienes; que uno tenga deudas y efectos reales, si las deudas
superan a los efectos, significa que lo que tiene es negativo; y la unión de esta fortuna
con la del primero disminuirá los bienes de éste, de manera que la suma será menor que
lo que poseía el primero, o incluso, enteramente negativa."
Esto pone de relieve la confusión entre el
signo de la operación y el signo del número, y la diferencia entre sumar y aumentar,
dificultades que se manifiestan desde que se empieza a enseñar el negativo. La
distinción no se hará realmente hasta fines del siglo XIX, pero el problema pedagógico
persistirá.
Desde la época de Vieta, a principios del
siglo XVII, las reglas sobre el cálculo literal serán dominadas perfectamente, pero las
letras representan siempre cantidades positivas y nunca negativas. No se puede, por tanto,
encontrar como solución de una ecuación, por ejemplo, x = -3; esto sería absurdo.
II Obstáculos para la comprensión de los números
negativos.
Ya hemos evocado el problema del cero
absoluto y del cero relativo. Se encuentra, por ejemplo, en el "Diccionario de
Matemáticas" de J. Ozanam, de 1691, una veintena de tipos de números: enteros,
quebrados (fraccionarios), inconmensurables, sordos... Los negativos no son mencionados,
Aparecen en la resolución de ecuaciones, pero son calificados de falsas raíces,
engañosos, al contrario que los verdaderos, que son los positivos. La raíz falsa es el
valor negado de la incógnita de la ecuación. He aquí como Descartes presenta las
diferentes soluciones de una ecuación:
Pero a menudo ocurre que algunas de
estas raíces son falsas, o menores que nada, como si se supusiese que x designa también
el defecto de una cantidad, que si es 5, se tiene que x + 5 µ 0, que si es multiplicada
por x3 – 9xx+ 26x – 24 µ 0 se convierte en x4- 4x3
-19xx +106x-120 µ 0 una ecuación en la cual hay cuatro raíces, a saber, tres verdaderas
que son 2, 3, 4, y una falsa que es 5.
Descartes, La Geometría, 1637
Observamos que en este texto , Descartes
habla de una raíz falsa que es 5. Las soluciones negativas de las ecuaciones plantean
problemas a los matemáticos, pues es preciso interpretarlas. He aquí un ejemplo que
propone De Morgan (1806 – 1871) en 1831, ante las soluciones negativas de un
problema:
"La expresión imaginaria 
y la expresión negativa –b se parecen en que cada una de ellas,
cuando aparece como solución de un problema, indica que hay alguna inconsistencia o
absurdo. En lo que respecta a la realidad de su significación, las dos son igualmente
imaginarias puesto que 0 - a es tan inconcebible como .
Un ejemplo: un padre tiene 56 años y su
hijo 29. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será doble que la del hijo? Sea
x el número de años; x verifica: 56+x = 2(29+x). Encontramos que x = -2. Este
resultado es absurdo pero si cambiamos x por –x y resolvemos: 56-x = 2(29-x)
encontramos que x=2. La respuesta negativa muestra que hemos cometido un error en la
primera formulación de la ecuación. Cuando la respuesta a un problema es negativa,
cambiando el signo de la x en la ecuación que ha producido este resultado, podemos
descubrir que se ha cometido un error en el método utilizado para formular esta ecuación
o mostrar que la pregunta planteada por el problema es muy limitada"
Se admite las cantidades negativas en el
cálculo, como auxiliares obligatorios, aunque no tengan ningún sentido por sí mismas.
Es exactamente la misma posición que la de los imaginarios (llamados en la actualidad
números complejos). El malestar se manifiesta particularmente en los escritos de
carácter pedagógico, pues los autores no llegan a dar explicaciones satisfactorias.
Remarquemos que hasta el siglo XVII hay
pocas ocasiones para manipular "números" negativos que tengan sentido físico.
En 1730 Reaumur construye el primer termómetro científico y será preciso esperar aún
un siglo para que el gran público se habitúe a temperaturas por debajo de cero. En 1713,
Fahrenheit se las arregla para evitar estas temperaturas.
Algunos, a pesar de todo, mantienen
opiniones muy prudentes, incluso hostiles ante el uso de cantidades negativas, que no
serían definitivamente números. He aquí cómo lo expresa Mac Laurin (1698 – 1746)
en su "Tratado de las Fluxiones", en 1742:
"El uso del signo negativo en álgebra da lugar a
varias consecuencias, en principio, difíciles de admitir y han ocasionado ideas que
parecen no tener ningún fundamento real"
He aquí algunas de estas ideas:
- Pascal (1623 – 1662), en sus "Pensamientos":
"Demasiada verdad nos asombra; yo sé que no pueden comprender que, a quien de
cero resta cuatro, le queda cero".
- Arnauld, un teólogo amigo de Pascal dice, a propósito
de la igualdad 
: ¿Cómo un número más
pequeño podría ser a uno más grande como una más grande a uno más pequeño?
- Wallis (1616 – 1703) afirma: "Siendo a un
número positivo, el cociente 
es infinito; como 
es más grande, por ser el denominador más pequeño, es más grande
que el infinito, y esto siendo inferior a cero, pues el resultado es negativo"
Y he aquí una reacción francamente hostil de Francis
Maseres, matemático ingles, en su "Disertación sobre la utilización del signo
negativo en álgebra" (1759):
"Sirven solamente para tanto como
yo sea capaz de imaginar, para oscurecer toda la doctrina de las ecuaciones y para volver
tenebrosas cosas que son en su naturaleza excesivamente evidentes y simples. En
consecuencia habría sido deseable que las raíces negativas no hubiesen sido jamás
admitidas en el álgebra o que hubiesen sido rechazadas"
Ante tales obstáculos, ven la luz entonces estrategias de
evitación:
- En la escritura de ecuaciones: por ejemplo, habrá varios
tipos de ecuaciones de segundo grado, que podemos citar con nuestra escritura algebraica
contemporánea:
x² + px = q
x² + q = p
x² = px + q
(x² = px no es verdaderamente una
ecuación de segundo grado); el cero (0), como solución, tardará mucho tiempo en ser
aceptado puesto que significa "nada"; p y q representan números, por lo tanto
son por esencia positivos.
- Para la elección de los ejes para
referenciar los puntos: o bien no se tiene en cuenta la parte de la curva correspondiente
a x o y negativas (por ejemplo, la curva denominada Folium de Descartes, así llamada
porque representa la cúbica de ecuación x3+y3=3axy, con x e y
positivos, ver figura); o bien se eligen los ejes de manera que a la curva considerada no
le correspondan sino coordenadas positivas. Será preciso esperar al siglo XVIII para que
Mac Laurin, y sobre todo Euler, expliquen cómo se pueden considerar las coordenadas
negativas; se trata de una tímida aproximación a la que será llamada "la recta
real".
- Para no tener que aceptar una solución
negativa de un problema, casi hasta el siglo XX, si la resolución de una ecuación
conduce a una solución negativa, se aconseja rescribir el problema como hemos visto en el
texto de De Morgan.
III El problema particular de la regla de los signos para
el producto
He aquí lo que escribía el escritor
francés Stendhal, en su novela autobiográfica "La vida de Henri Brulard",
en 1835, para expresar su desconcierto frente a la regla de los signos:
Mi gran desgracia era esta figura:
Supongamos que RP sea la línea que separa
lo positivo de lo negativo, todo lo que está por encima es positivo, así como negativo
todo lo que está por debajo; ¿Cómo, tomando el cuadrado B tantas veces como unidades
hay en el cuadrado A, puedo yo llegar a hacer cambiar de lado el cuadrado C?Y, siguiendo
una comparación torpe que el acento soberanamente monótono y grenoblés de M. Chabert
volvía aún más torpe, supongamos que las cantidades negativas son las deudas de un
hombre, ¿cómo multiplicando 10000 francos de deuda por 500 francos, este hombre tendrá
o llegará a tener una fortuna de 5 000 000, cinco millones de francos?
Existe cierta necesidad de aceptar que
negativo x negativo = positivo si se quiere que el conjunto de los cálculos sobre todos
los números sea coherente. De hecho, se trata más, como hemos remarcado, de una
operación sobre los signos que sobre los números, puesto que un "número"
negativo es un número positivo precedido de un signo menos. Cualquiera que sea esta
necesidad, manipulada formalmente sin problema, hiere el buen sentido, incluso si algunos
matemáticos, entre los más grandes, intentan dar justificaciones, a menudo incompletas.
Hasta cierto punto, el problema de la justificación no es quizás el mayor, en la medida
en que todo marche bien, y no aparezcan contradicciones. Es preciso llegar a cierto nivel
de reflexión epistemológica, o toparse con casos donde las propiedades no funcionan,
para necesitar uno fundamentos incuestionables.
Veamos algunas explicaciones:
- La de Stevin:
Se trata de hecho de comparar las
áreas de rectángulos tomándolos globalmente, y luego, añadiendo las diferentes partes,
llegar a una especie de desarrollo de (a-b)(c-d) donde a, b, c ,d son reales positivos, a
la necesidad de escribir que (-b) x (-d) = bd.
- La de Mac Laurin, (1748) adelantada a su tiempo pues
formula:
De ahí se podría deducir la regla de
los signos tal como se acostumbra enunciar, que consiste en que los signos iguales en los
términos de multiplicador y multiplicando dan + al producto, y los signos diferentes dan
-. Hemos evitado esta manera de presentar la regla, para ahorrar a los principiantes la
indignante expresión – por – da +, que es sin embargo una consecuencia
necesaria de la regla: se puede, como hemos hecho, ocultarla, pero no contradecirla o
aniquilarla; el lector , sin darse cuenta, ha observado todo el sentido en los ejemplos
precedentes; familiarizado con la cosa, ¿podría aún asustarse con las palabras? Si le
queda algún escrúpulo, que preste atención a la demostración siguiente que ataca
directamente la dificultad.
+a-a=0, así que por cualquier cantidad que
se multiplique +a-a, el producto debe ser 0: si lo multiplico por n, tendría por primer
término +na, y por segundo –na, puesto que es preciso que los dos términos se
cancelen. Así que los signos diferentes dan – para el producto. Si multiplico +a-a
por –n, por el caso anterior, tendré –na para el primer término; por tanto
tendré +na para el segundo, puesto que es necesario que los dos términos se cancelen: en
consecuencia – multiplicado por – da + en el producto.
- La de Euler, (1770), muy ingenua y poco convincente.
Nos queda aún por resolver el caso en
que – es multiplicado por – o, por ejemplo, -a por –b. Es evidente en
principio que en cuanto a las letras, el producto será ab; pero es incierto aún si el
signo que debe ponerse delante de este producto es + o bien -; todo lo que sabemos es que
será uno de estos dos signos. Ahora bien digo que éste no puede ser el signo -; pues
– a por +b da –ab y –a por –b no puede producir el mismo resultado que
–a por +b; en consecuencia tenemos la regla: + multiplicado por + produce +, igual
que – multiplicado por –.
Comprendemos bien que hasta aquí se trata
de la regla de los signos, puesto que no hay más que cantidades negativas, designadas por
un número positivo, y precedido de un signo -. No se trata verdaderamente de dos números
negativos.
- La explicación de Cauchy (1821) acentúa
esta consideración definiendo una regla que opera sobre los símbolos + y -, no sobre los
números negativos.
A partir de estas convenciones, si se
representa por A tanto sea un número como una cantidad cualquiera, y hagamos: a=+A , b=-A
Se tendrá : +a=+A , +b=-A-a=-A , -b=+A
Si en las cuatro últimas ecuaciones se sustituye a y b por
sus valores entre paréntesis, se obtendrán las fórmulas:
+(+A)=+A ; +(-A)=-A ; -(+A)=-A ; -(-A)=+A
En cada una de estas fórmulas el signo del
segundo miembro es lo que se llama el producto de los dos signos del primero. Multiplicar
dos signos uno por otro es formar su producto. Es suficiente la observación de la
fórmula para establecer la regla de los signos.
Hay una especie de confusión entre el
signo – que significa el opuesto; y Cauchy se apoya de hecho sobre el hecho de que el
opuesto del opuesto es el número mismo; no hay aquí consideraciones sobre el producto de
números negativos.
- Hankel (1867) aborda el problema desde
otra perspectiva, puramente formal. Las reglas de la adición y de la multiplicación
deben ser las mismas para todos los números reales positivos o negativos. Desde esta
perspectiva los negativos tienen el estatus de número, completamente, y distingue de una
forma neta el signo – del opuesto y el signo – de la sustracción. Lo que es
importante es poder multiplicar opuestos. Su explicación se puede resumir de la manera
siguiente:
0 = a x 0 = a x (b + opp b) = ab+ a x (opp b)
0 x (opp b) = (a + opp a) x (opp b) = a x (oppb) + (opp a x
opp b)
por lo tanto (opp a) x (opp b) = ab
Se hicieron otras propuestas a principios
del siglo XIX por Wessel, Argand, etc., dando una interpretación geométrica de los
números complejos, incluyendo los negativos. Todos estos matemáticos eran muy poco
conocidos, y sus proposiciones no serán tomadas en serio hasta que los
"grandes", como Gauss o Cauchy, las tuvieron en cuenta.
De hecho, el trastorno ocasionado por
Hankel se incribe en la ruptura ideológica del pensamiento matemático de finales del
siglo XIX, a propósito de las relaciones entre las matemáticas y la realidad física.
Hasta entonces, si se inventaban nuevos "números" que chocaban con las ideas
recibidas, eran automáticamente calificados de incomprensibles, inconcebibles, absurdos,
sordos, irracionales, falsos, imaginarios...
Hankel rechaza esta ideología. Acepta que
(-3)²>(2)², pues este resultado es coherente con la deducción formal, y no se
preocupa de lo que esto puede tener de chocante con las ideas recibidas. No hay un buen
modelo para los negativos, y Hankel rehusa su búsqueda. El importante paso que es posible
dar en la época de Hankel, y que no lo era, sin duda, en la de Mac Laurin, consiste en
poder considerar los números no como ligados a una realidad física, sino como entes
matemáticos que cumplen ciertas relaciones entre ellos.
El número no es ya hoy una cosa, una
sustancia que exista independientemente fuera del sujeto pensante o de los objetos que los
causan; no es un principio independiente como creyeron los pitagóricos. La cuestión de
la existencia de los números nos lleva o bien al sujeto pensante, o bien a los objetos
pensados respecto de los que los números expresan relaciones. Los matemáticos consideran
imposible en sentido estricto solamente lo que es lógicamente imposible, es decir que
implique una contradicción . No es necesario demostrar que se pueden admitir números
imposibles en este sentido. Pero si los números considerados son lógicamente posibles,
si su concepto está definido de forma clara y distinta, si es por tanto libre de toda
contradicción, la cuestión no puede ya ser el saber si existe en el dominio de lo real,
en lo que es intuitivo o actualmente dado, un substrato para este número, si existen
objetos que puedan dar materia a los números en tanto que son relaciones intelectuales de
cierto tipo.
Hamilton, en 1835, en su obra en su obra:
Theory of conjugate functions; on álgebra as the science of Pure Time, subrayará
esta dificultad para comprender los números y particularmente una propiedad como la regla
sobre el signo del producto, es preciso permanecer en un dominio puramente formal, y
sustraerse a toda referencia al mundo físico. Al contrario, insiste, que en el dominio de
la geometría, es esta referencia al mundo físico lo que nos permite admitir, sin
discusión, por ejemplo, el quinto postulado de Euclides sobre las paralelas. El postulado
de las paralelas es admitido por todos sin discusión, porque puede
"verificarse" físicamente todos los días; la regla de los signos, por el
contrario, choca contra el sentido común (buen sentido), por lo tanto demanda una
justificación sólida.
Observemos que Hamilton, el inventor de los
cuaterniones , construía, en la época en la que escribía lo que precede, una teoría de
los pares que permitía una especie de justificación algebraica de todos los
"números" y que se vería llevado a abandonar, por los cuaterniones
precisamente, una propiedad que parecía estar relacionada con la noción misma de
número, a saber, la conmutatividad del producto. Subrayemos también que en esta misma
época, entraban en juego las geometrías no euclídeas atacando el postulado de las
paralelas. Notemos, por fin, que Hankel fue uno de los que trabajaron sobre las ideas de
Grassmann, quien contribuyó enormemente a la construcción de los vectores y los espacios
vectoriales, de un modo bastante diferente al de Hamilton.
Estas nuevas consideraciones sobre los
números recorrieron su camino muy lentamente, y al principio del siglo XX persiste
todavía una desconfianza y cierta dificultad para explicar los números negativos,
particularmente en los manuales escolares.
Conclusión
en forma de reflexión pedagógica:
Actualmente no es tan fácil enseñar los
números negativos. El modelo concreto, bajo la forma "ganancia - deuda" por
ejemplo, es una ayuda pedagógica, pero no siempre es posible, incluso puede convertirse
en un obstáculo. Esta historia muestra que es posible adquirir cierta facilidad, incluso
virtuosismo operatorio, formalmente, sin haber comprendido lo que se maneja. Cuando
aparecen las preguntas, entonces se crea el obstáculo. Recordemos las reflexiones de
Carnot, quien planteaba dos problemas fundamentales: no es posible que o que (-3)²>(2)², salvo si se abandonan
algunas reglas establecidas, entonces los negativos no son "números" como los
positivos. Es preciso también convencerse de que las matemáticas sirven para resolver
problemas teóricos o abstractos, y no problemas concretos. La dificultad reside en las
relaciones entre la realidad física y su modelización matemática.
