SÓLIDO RÍGIDO 

Contenidos

3.1-El sólido rígido. Tipos de movimiento.

3.2-Rotación de un sólido alrededor de un eje fijo.

3.3-Teorema de conservación del momento angular.

3.4-Trabajo y energía cinética de rotación.

3.5-Condiciones de equilibrio de un sólido.

Enlaces de interés

Materiales informáticos y audiovisuales

Apéndice

Bibliografía

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3.1 El sólido rígido. Tipos de movimiento.

Un sólido rígido es un caso especial de sistemas constituidos por muchas partículas en los que la distancia relativa entre dos partículas cualesquiera del sistema permanece constante bajo cualquier causa.

Se puede hablar de dos tipos de movimiento en un sólido rígido. El movimiento de traslación cuando todas las partículas describen trayectorias paralelas de modo que las líneas que unen dos puntos cualesquiera del sólido permanecen paralelas a su posición inicial (fig. 3-1 a). Por tanto, la velocidad del sólido coincide con la velocidad de cualquiera de sus puntos, lo que permite reducir el movimiento al de uno solo de sus puntos. Este punto elegido es el CDM. El movimiento de rotación alrededor de un eje cuando todas las partículas describen trayectorias circulares alrededor de una línea llamada eje de rotación (fig 3-1 b). En este caso las partículas tienen velocidades de traslación diferentes, pero todas describen el mismo ángulo en el mismo intervalo de tiempo, es decir, todas poseen la misma velocidad angular w.

fig 3-1

El movimiento más general de un sólido puede siempre considerarse como una combinación de una traslación y una rotación (fig. 3-1 c).

En este capítulo estudiaremos el movimiento de rotación de un sólido alrededor de un eje fijo respecto de un SRI. Los resultados serán válidos si el eje pasa por su CDM y la orientación no cambia respecto al SRI.

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3.2 Rotación de un sólido alrededor de un eje fijo.

Consideremos un sólido que rota alrededor de un eje Z con velocidad angular w (fig 3-2). Cada una de sus partículas describe una órbita circular con centro en el eje Z. Así, la  i describe un círculo de radio Ri con una velocidad vi=w x ri. El valor de la velocidad será:

El momento angular de la partícula i es lio=ri x m vi. Su dirección es perpendicular al plano formado por ri y vi y está

contenido en el plano formado por ri y el eje Z (fig. 3-2). El ángulo formado por lio y el eje Z será 

Siendo su componente paralela:

La componente del momento angular total del sólido según el eje de rotación es:

La cantidad se denomina el momento de inercia de un cuerpo con

respecto al eje de rotación Z. Las dimensiones de esta magnitud son |M||L|2 y las unidades en el SI son kg× m2. Magnitud, que por otra parte, depende de la distribución de la masa del sólido y del eje respecto al cual esté girando.

En este curso sólo nos plantearemos el cálculo de I de sistemas discretos que rotan en torno a ejes fijos. El cálculo de I para distribuciones continuas se les dará como datos en los problemas adecuados para alcanzar los objetivos de este bloque.

Podemos por lo tanto escribir la ec. (3.1) en la forma LOz=Iw. Esta expresión nos indica la relación existente entre la componente del momento angular del sólido repecto a O según el eje de rotación y la velocidad angular. Hay que hacer notar que la misma no es una relación entre los vectores L y w ya que en general ambos no coinciden en dirección. Sin embargo, para cada cuerpo, existen ciertos ejes para los cuales L es paralelo a dichos ejes. A estos ejes se les denomina ejes principales de inercia y los momentos correspondientes momentos principales de inercia designados por I1, I2 e I3.

Cuando el cuerpo rota según uno de estos ejes, en lugar de la expresión escalar podemos escribir L=Iw. Expresión formalmente análoga a P=MV, es decir, aún no siendo I una magnitud característica del sólido, si M representa una oposición a cambiar el estado de movimiento o de reposo en la traslación de un sólido, ¿qué representa I?...

Ecuación del movimiento

En la ec. (2.11) establecimos una relación entre el momento angular total de un sistema de partículas y el momento de las fuerzas exteriores aplicadas al sistema ambos medidos respecto a un observador inercial. Luego, suponiendo un eje principal...

Esta nos indica que siempre que actúe un momento debido a las fuerzas exteriores, el sólido adquiere una aceleración angular.Debemos insistir de nuevo entre las analogías de las ecs. fundamentales de traslación y las de rotación de un sólido...

En el caso de que el sólido no esté rotando alrededor de un eje principal de inercia, pero fijo, la ec. a utilizar será:

Donde MextOz es sólo la componente según el eje de rotación.

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3.3 Teorema de conservación del momento angular

Si el momento de las fuerzas exteriores es nulo la velocidad angular de un sólido que gira en torno a un eje fijo principal de inercia es constante

Esto puede considerarse como la 1ª ley para el movimiento de rotación. Cuando I no sea constante (p.e. en sistemas deformables) la condición anterior solo conlleva la conservación de I× w. En estos casos un aumento de I va acompañado de una disminución de w y viceversa.

 

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3.4 Trabajo y energía cinética de rotación

Ya hemos definido la energía cinética de un sistema de partículas en la sección 2.6 como:

La expresión es correcta para cualquier eje, ya que la velocidad es siempre vi=Riw, e indica que la energía cinética de rotación depende, no solo de la velocidad angular, sino además de la masa del sólido y de la forma en que se encuentre distribuida.

Si consideramos el caso general de un sólido que traslada respecto a un observador O y rota en torno a un eje que

pasa por su CDM y recordando la expresión (2.15)...

En el caso del sólido 1/2MV2 es la energía cinética de traslación, y por lo tanto, EcCDM es la energía cinética de rotación ya que el único movimiento del sistema (en un sólido rígido) en torno al CDM es el de rotación.

Teniendo en cuenta ahora la expresión (2.17) y que el trabajo realizado por las fuerzas interiores es nulo en el caso del sólido rígido (distancia relativa entre las partículas permanece constante) obtendremos...

Expresión que da título a la pregunta. En el caso de que las fuerzas exteriores sean conservativas...

Teorema de conservación de la energía para un sólido rígido en el que las fuerzas exteriores que realizan trabajo son

conservativas.

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3.5 Condiciones de equilibrio de un sólido

Un sólido rígido se dice que está en equilibrio cuando no evoluciona a lo largo del tiempo, lo cual no quiere decir que necesariamente se encuentre en reposo..

.

Bajo estas condiciones el sistema no evoluciona en el tiempo, P=cte. y LCDM=cte., ahora bien éstas no garantizan el que el sistema se encuentre en reposo, para ello es necesario que inicialmente se encuentre en reposo de lo contrario el sólido presentará un movimiento uniforme, en el que no varía su velocidad lineal de traslación ni la de rotación.

En resumen, si en el sólido rígido la resultante de las fuerzas exteriores es nula y el momento de éstas respecto al CDM es también nulo, e inicialmente estaba en reposo, seguirá en dicho estado.

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¡Ya!, algunas veces falla, pero es normal, ande mire de nuevo...

 

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Apéndice

DIFERENCIAS Y ANALOGÍAS ENTRE DIN. DE TRASLACIÓN Y ROTACIÓN

Traslación (mags.)

Rotación (mags.)

m

p=mv

I

L=Iw

F=ma

P=F× v

Ect=1/2mv2

P= M× w

Ecr=1/2Iw2

 

TABLA DE MOMENTOS DE INERCIA

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Bibliografía

A. Peña Sainz /F. Garzo Pérez -Curso de Física COU- Mc Grau Hill.

Marcelo Alonso/Edward J. Finn -Física vol I y II- Fondo Educativo Interamericano, S.A.

Paul A. Tipler Física I editorial reverté, S.A.

Gerald Honton Introducción a los conceptos y teorías de las ciencias físicas editorial reverté, S.A

Solomon Garthenaus Física Mecánica Interamericana

Bájate apuntes de Física

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