t=t'
Transformaciones de Galileo...
Galileo (absolutista total ya que no se había descubierto aún contracciones de longitudes ni dilataciones temporales) dedujo que si tengo un sistema en reposo O y otro en movimiento O' (a velocidad vo respecto de O a lo largo del eje x), y si las coordenadas de un punto del espacio para O son x,y,z y para O' son x',y',z', se puede establecer un conjunto de ecuaciones de transformación para el cambio de coordenadas bastante sencillo.
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t=t' |
...relación entre las observaciones hechas por O y O' de un mismo suceso...Suponemos, en este caso, O en reposo y O' con MRU respecto a O (SRIs)...
Einstein y transformaciones de Lorentz
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...Einstein enuncia sus famosos postulados: a) Todas las leyes de la naturaleza deben ser las mismas para todos los observadores inerciales. b) La velocidad de la luz es independiente del movimiento relativo de la fuente luminosa y de los observadores inerciales.
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Pues bien, Lorentz a partir de su famosa contracción de longitudes dedujo que algo cambiaba: (en realidad lo hizo de otro modo, pero para nosotros será suficientemente válido ya como para el sistema en movimiento sus longitudes son más cortas, sus varas de medir también lo serán y las distancias del sistema en reposo parecerán mayores dividiéndose por γ)...
Pero nos falta aún ver que pasa con la coordenada temporal. En la época de Galileo t=t' pero ahora ya no podemos ser tan optimistas. Lorentz dedujo sus ecuaciones de transformación tratando de hacer que las ecuacones de Maxwell se mantuvieran invariantes con el cambio de sistema de coordenadas, pero nosotros las deduciremos a partir del postulado de la constancia de la velocidad de la luz.
Para aclarar lo anterior y lo que ocurre con el tiempo consideraremos un sistema de referencia O en supuesto "reposo" y otro O' en movimiento uniforme a lo largo del eje x de O (con velocidad v). Partimos de una situación en la que ambos sistemas están superpuestos en un instante t0=0.
…De esta manera (negando el fenómeno de simultaneidad entre acontecimientos vistos por distintos observadores-velocidad c finita para la transmisión de información-…), el tiempo deja de ser invariante y se convierte en un parámetro propio de cada observador…El espacio y el tiempo se engloban en una nueva entidad espacio-temporal propia de cada observador.
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Supongamos los orígenes de ambos observadores coincidiendo en el momento del destello, al cabo de un tiempo t éste se encontrará en A…
Estas dos ecuaciones no pueden relacionarse con la transformación de Galileo; en este caso t y t' son diferentes, al serlo las posiciones, debido a la invarianza de la velocidad de la luz...
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...estas ecuaciones son las llamadas transformaciones de Lorentz
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Masa, momento lineal y energía cinética relativistas
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Dilatación del tiempo y contracción de la longitud
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Consideremos primero un observador O’ en reposo en S’ a una distancia L de un espejo (fig.) .Lanza un destello y mide el tiempo entre el destello inicial y el destello de vuelta al espejo... Como la luz se mueve con velocidad c, este tiempo será t'=2L/c Ahora
observaremos estos mismos sucesos desde el sistema de referencia S en
donde el observador O’ y el espejo se mueven hacia la derecha con
velocidad
v... “Estos sucesos (los destellos) ocurren en distintos
lugares (x1 y x2) para el sistema S que medirá un
tiempo t para el intervalo entre los sucesos”.
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Atendiendo
al segundo postulado de Einstein y razonando sobre la fig. (ver triángulo)...
El
observador O medirá un tiempo
t con su reloj que será superior al tiempo t’
medido por el observador O’ y pensará que el reloj de éste atrasa. El
tiempo que mide O’ se denomina tiempo propio ya que
ambos sucesos ocurren en el mismo lugar. Este aumento de tiempo medido por O se denomina dilatación del tiempo. Este fenómeno está estrechamente ligado a la contracción de la longitud, (la longitud medida por el observador respecto del cuál el objeto está en reposo se llama longitud propia). Veamos como la longitud medida por el observador que se mueve (respecto del objeto que se mide, o lo que es lo mismo si el objeto se mueve respecto del observador que lo mide) es más pequeña que la longitud propia. En efecto, la longitud medida por O será ahora l=x2- x1=vt mientras que la longitud que mide O’ (puesto que el objeto (regla) se mueve con velocidad –v respecto de él) será l’=[-vt’]=vt’...sustituyendo en t’ obtenemos
...Aquí vemos, nuevamente, como la longitud que mide O’ es más pequeña que la longitud propia... Ejercicio de aplicación 1: La estrella más cercana al sistema solar es Alfa Centauro, que se encuentra a 4,3·1016 m de distancia de acuerdo con los relojes de la Tierra. ¿Cuánto tardará una nave espacial en hacer el viaje de ida y vuelta a esa estrella si su velocidad es de 0.999c?. ¿Cuánto tiempo ha transcurrido para una observador situado en la nave? Vamos a plantear este ejercicio en función de las longitudes que miden ambos. La longitud propia es (para el observador sito en Tierra) l=4.3·1016=0.999c·t. La longitud medida por el observador de la nave es l’=0.999c·t’=1.9·1015m
Ejercicio de aplicación 2: En unos experimentos de laboratorio se producen mesones m (muones) de baja velocidad, que decaen espontáneamente con un tiempo promedio de vida t = 2.197 ms. Los rayos cósmicos que llegan a la atmósfera terrestre, a una altura h=25 km. También producen muones que se detectan después en la superficie. ¿Qué velocidad es necesaria para que un muón promedio llegue a la superficie de la Tierra sin decaer? Antes un poco de cultura. Los muones aparecen como radiación secundaria procedentes de rayos cósmicos y se desintegran según la ley estadística En donde N0 es el número de muones en el instante inicial, N(t) es en el instante t y T es el periodo de vida media (en nuestro caso t = 2.197 ms). Estos muones se crean a una gran altura (h=25 km). Aplicando la mecánica clásica, observen la tontería,... v = h/t ® v @37.9c esta sería la velocidad que debería tener la partícula para ser detectada en la superficie terrestre. Como ven del todo imposible según el segundo postulado de Einstein... Apliquemos pues la mecánica relativista. El tiempo propio en este caso estará medido por el observador (O’) sito en el muón que verá acercarse al detector (fijo en la Tierra) con una velocidad v
Para O’ habrá recorrido una distancia h’=v·t’=0.9996c·2.197·10-6 =658.87 m La longitud propia (h=25 km) está medida por el detector situado en la Tierra que verá acercarse al muón con la misma velocidad relativa...el tiempo transcurrido para el detector será:
Para
O habrá recorrido una distancia h=v·t=0.9996c·7.768·10-5=25000
m Es fácil distinguir experimentalmente entre las predicciones clásicas y relativistas de las observaciones de los muones a nivel del mar. Supongan que observamos 1016 muones a una altura de 25 km en un intervalo de tiempo(⌂t) mediante un detector. ¿Cuántos se observarán (en el mismo intervalo de tiempo) a nivel del mar? De acuerdo con la mecánica clásica el tiempo que tardan en recorrer esta altura es 7.768·10-5s
De acuerdo con la mecánica relativista la Tierra debe contar sólo como la distancia contraída de 658 m en el sistema de referencia del muón con un tiempo de recorrido de 2.197·10-6 s
Experimentos de este tipo han confirmado las predicciones relativistas.... |
Ejercicios c
Efecto fotoeléctrico
Trabajo para el alumnado
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http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cuantica/fotoelectrico/fotoelectrico.htm |
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